Фрактальный анализ и процессы в компьютерных сетях. Громов Ю.Ю - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Рис. 2.2. Упрощенная модель передачи информации
На первом этапе разбиения при ξ = 1/3 число переданных пакетов – 2ξλt, потерянных – ξλt. На n-м этапе разбиения соот-
ветственно (2
ξ)
n
λt и λt [l – (2ξ)
n
]. После предельного перехода n → ∞ число переданных пакетов вычисляется из выражения
(1.8), которое после замены переменных
t – τ = y и f
(τ) = λ принимает вид
∫
−ββ
λ
t
dyyKt
0
1
0
. (2.9)
Интеграл в выражении (2.9), как следует из (2.6), нормирован на единицу, поэтому число переданных пакетов λt
β
ока-
зывается меньше числа посланных –
λt. На передачу недосланных пакетов при регулярной их посылке необходимо затратить
дополнительное время
t
1/β
– t.
Действительно, после свертки интеграла (2.6) с верхним пределом
t
1/β
на канторовское множество число переданных паке-
тов становится
λt.
Остановимся на важных характеристиках фрактального процесса – масштабируемости его структуры и тесно связанном
с ней свойством самоподобия. Начнем рассмотрение, как и в предыдущем случае, с изучения этих свойств на примерах от-
резка прямой, площади поверхности и т.д. в евклидовом пространстве. Разделим отрезок (длина его принимается равной
единице) на несколько частей
N (r
L
(N) = 1/N – масштабный множитель, r
L
< 1), так, чтобы путем параллельного переноса
этой частью отрезка 1/
r
L
раз, не пересекаясь, полностью покрыть исходный отрезок. В этом случае исходный отрезок самопо-
добен с коэффициентом подобия (масштабным множителем)
r
L
. Аналогично, прямоугольник (его площадь принимается рав-
ной единице) можно покрыть уменьшенными копиями общим числом
N, если длины сторон копий уменьшены в N
1/2
раз.
Здесь исходный прямоугольник самоподобен с коэффициентом подобия
r
S
(N) = 1 / N
1/2
. Для куба коэффициент подобия r
V
(N) =
1 /
N
1/3
.
В общем случае коэффициент подобия
R(N) = 1/N
1/β
, (2.10)
где β – размерность подобия, всегда равная целому числу, совпадающему с топологической размерностью евклидова про-
странства.
Рассмотрим канторовское множество на
n-м этапе разбиения единичного отрезка. Масштабный множитель при ξ = 1/3
равен
r
L
(N) = (1/3)
n
. (2.11)
Число «покрывающих» исходный отрезок частей N = 2
n
. Подставляя полученное из этого соотношения выражение n =
ln
N / ln 2 в (2.11) и далее приравнивая его коэффициенту подобия общего вида (2.10), получаем уравнение
(3
ln N / ln 2
)
–1
= N
–1/β
,
откуда размерность подобия канторовского множества
β = –ln N / ln r
L
(N) = ln 2 / ln 3.
Можно говорить, что исходный отрезок при канторовском разбиении на n-м этапе в некотором смысле самоподобен его
части при коэффициенте подобия
r
L
(N) = 1 / N
ln 2 / ln 3
.
Заметим также, что размерность подобия совпадает с фрактальной размерностью канторовского множества.
Для получения результатов более общего характера представим поведение частей исходного отрезка в виде огибающей
некоторой функции
U(t) от аргумента t. Так, при разбиении на части исходного отрезка в евклидовом пространстве график
огибающей имеет вид, представленный на рис. 2.3,
а. Откуда для r
L
-й части огибающей выполняется условие

Страницы