Фрактальный анализ и процессы в компьютерных сетях. Громов Ю.Ю - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

() ( ) ( )
τ
′
τ
′
−τψτ
′
ψ=τψ
∫
τ
−
d
kk
0
1
, k ≥ 2 и ψ
1
(τ) = ψ(τ).
Применяя к корреляционной функции (3.16) Фурье-преобразование (формула Хинчина – Винера), получаем спектраль-
ную плотность центрированной составляющей случайной интенсивности
() () { } () { }
τωτ−τ+λ=τωτ−τ=ω
∫∫
∞
∞−
∞
∞−
djgdjkS expexp
22
. (3.19)
Приведем еще одно определяемое с помощью уравнения восстановления и формулы Хинчина – Винера выражение
спектральной плотности этой составляющей случайной интенсивности [19]
ωΦ−
ωΦ+
λ=ω
)(1
)(1
Re)(S
, (3.20)
где характеристическая функция случайных интервалов времени между точками определяется как Фурье-преобразование плот-
ности распределения
() () { }
τωττψ=ωΦ
∫
∞
∞−
djexp . (3.21)
При анализе рассматриваемых в этом и следующем разделах моделей используются статистики числа отсчетов (прира-
щений) точечного процесса на интервалах заданной длительности Т (счетные статистики). Обозначим число выпавших на
интервале (
t
n
, t
n
– T) точек через Х
n
. Сместим этот интервал на kT (k ≥ 1) и обозначим число выпавших на интервале (t
n + k
, t
n + k
–
T) точек через Х
n + k
. Корреляционная функция числа отсчетов в разнесенных на время, равное kT, указанных интервалах
определяется соотношением
C(k, T) = M{X
n
X
n + k
} – (λT)
2
. (3.22)
Дисперсия числа отсчетов равна при k = 0
D(T) = C(0, T). (3.23)
Процедуры определения статистик (3.22) и (3.23) опираются на интегральные соотношения, связывающие искомые
функции и процессы с известными статистическими характеристиками. Предварительно получим выражение статистик для
непрерывного времени. Пусть
ξ(t) – стационарный случайный процесс с известными математическим ожиданием m
1
и кор-
реляционной функцией k
2
(u).
Математическое ожидание и корреляционная функция от этого процесса на заданном интервале (
t, t – T) x
T
(t) =
()
∫
−
ξ
t
Tt
dtt соответственно равны [16]:
(){} (){}
∫
−
=ξ==
t
Tt
Tx
TmdttMtxMm
11
;
() ()
[]
()
[]
{}()
∫∫
−
ϑ+
ϑ+−
−=−ϑ+==ϑ
t
Tt
t
Tt
xTxTx
duduuukmtxmtxMk
21212112
.
Соотношение, связывающее на основании формулы Хинчина – Винера корреляционную функцию и спектральную
плотность, имеет вид
() () ( ){}
ω−ωω
π
=−
∫
∞
∞−
duujSuuk
21212
exp
2
1
.
После подстановки полученного выражения в
k
2x
(ϑ) и интегрирования имеем
() ()
()
[]
{} () {}
.exp
2/
2/sin
2
1
exp
cos12
2
1
}{exp}{exp
2
1
2
11222
ωωϑ
ω
ω
ω
π
=ωωϑ
ω
ω−
ω
π
=
=ωω−ωω
π
=ϑ
∫∫
∫∫∫
∞
∞−
∞
∞−
ϑ+
ϑ+−−
∞
∞−
dj
T
Sdj
T
S
duujduujdSk
t
Tt
t
Tt
x
Как следует из полученного выражения, интегралу от процесса ξ(t) с известной корреляционной функцией k
2
(τ) соот-
ветствует процесс с корреляционной функцией
k
2x
(ϑ) и спектральной плотностью

Страницы