ВУЗ:
возникла в середине ХIХ в. в трудах английского математика Джорджа Буля. Ее создание представляло собой попытку ре-
шать традиционные логические задачи алгебраическими методами.
Одним из основных понятий алгебры логики является логическое высказывание. Логическое высказывание – это любое
повествовательное предложение, в отношении которого можно однозначно сказать, истинно оно или ложно.
Так, например, предложение "6 – четное число" следует считать высказыванием, так как оно истинное. Предложение
"Рим – столица Франции" тоже высказывание, так как оно ложное.
Разумеется, не всякое предложение является логическим высказыванием. Высказываниями не являются, например,
предложения "студент первого курса" и "информатика – интересный предмет". Первое предложение ничего не утверждает
о студенте, а второе использует слишком неопределенное понятие "интересный предмет". Вопросительные и восклицатель-
ные предложения также не являются высказываниями, поскольку говорить об их истинности или ложности не имеет смысла.
Алгебра логики рассматривает любое высказывание только с одной точки зрения – является ли оно истинным или лож-
ным. Заметим, что зачастую трудно установить истинность высказывания. Так, например, высказывание "площадь поверхно-
сти Индийского океана равна 75 млн. кв. км" в одной ситуации можно посчитать ложным, а в другой – истинным. Ложным –
так как указанное значение неточное и вообще не является постоянным. Истинным – если рассматривать его как некоторое
приближение, приемлемое на практике.
Употребляемые в обычной речи слова и словосочетания "не", "и", "или", "если ..., то", "тогда и только тогда" и другие
позволяют из уже заданных высказываний строить новые высказывания. Такие слова и словосочетания называются логиче-
скими связками.
Высказывания, образованные из других высказываний с помощью логических связок, называются составными. Выска-
зывания, не являющиеся составными, называются элементарными.
Так, например, из элементарных высказываний "Петров – студент", "Петров – шахматист" при помощи связки "и"
можно получить составное высказывание "Петров – студент и шахматист", понимаемое как "Петров – студент, хорошо
играющий в шахматы".
При помощи связки "или" из этих же высказываний можно получить составное высказывание "Петров – студент или
шахматист", понимаемое в алгебре логики как "Петров или студент, или шахматист, или и студент и шахматист одно-
временно".
Истинность или ложность получаемых таким образом составных высказываний зависит от истинности или ложности
элементарных высказываний.
Чтобы обращаться к логическим высказываниям, им назначают имена. Пусть через А обозначено высказывание "Тимур
поедет летом на море", а через В – высказывание "Тимур летом отправится в горы". Тогда составное высказывание "Тимур
летом побывает и на море, и в горах" можно кратко записать как А и В. Здесь "и" – логическая связка, А, В – логические пе-
ременные, которые могут принимать только два значения – "истина" или "ложь", обозначаемые, соответственно, "1" и "0".
Каждая логическая связка рассматривается как операция над логическими высказываниями (или логическими перемен-
ными) и имеет свое название и обозначение:
НЕ Операция, выражаемая связкой "не", называется отрицанием и обозначается чертой над высказыванием (или зна-
ком ¬). Высказывание
A
истинно, когда A ложно, и ложно, когда A истинно. Зависимость между такими высказываниями
можно записать в виде таблицы истинности (рис. А.1). Пример: "Луна – спутник Земли" (А); "Луна – не спутник Земли" (
A
).
A
A
0 1
1 0
а)
A B
A ∧ B
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
б)
A B
A ∨ B
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
в)
Рис. А.1
И Операция, выражаемая связкой "и", называется конъюнкцией (лат. conjunctio – соединение) или логическим умноже-
нием и обозначается точкой "
⋅
" (может также обозначаться знаками ∧ или &). Высказывание А ⋅ В истинно тогда и только
тогда, когда оба высказывания А и В истинны (рис. 1, б). Например, высказывание "10 делится на 2 и 5 больше 3" истинно, а
высказывания "10 делится на 2 и 5 не больше 3", "10 не делится на 2 и 5 больше 3", "10 не делится на 2 и 5 не больше 3" – лож-
ны.
ИЛИ Операция, выражаемая связкой "или", называется дизъюнкцией (лат. disjunctio – разделение) или логическим сло-
жением и обозначается знаком ∨ (или плюсом). Высказывание А ∨ В ложно тогда и только тогда, когда оба высказывания А
и В ложны (рис. 1, в). Например, высказывание "10 не делится на 2 или 5 не больше 3" ложно, а высказывания "10 делится на
2 или 5 больше 3", "10 делится на 2 или 5 не больше 3", "10 не делится на 2 или 5 больше 3" – истинны.
Есть и другие логических операций, однако их можно выразить через отрицание, дизъюнкцию и конъюнкцию. Таким
образом, операций отрицания, дизъюнкции и конъюнкции достаточно, чтобы описывать и обрабатывать логические выска-
зывания.
Порядок выполнения логических операций задается круглыми скобками. Но для уменьшения числа скобок договори-
лись считать, что сначала выполняется операция отрицания ("не"), затем конъюнкция ("и"), после конъюнкции – дизъюнкция
("или").
С помощью логических переменных и символов логических операций любое высказывание можно формализовать, т.е.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 162
- 163
- 164
- 165
- 166
- …
- следующая ›
- последняя »
