Системный анализ в информационных технологиях - 72 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

зывается оптимальным, если не существует такого u ∈ U, что вектор Н(и) более предпочтителен, чем
Н(и
*
), т.е. Н(и) R Н(и
*
) для всех u ∈ U. Такие управления иногда называют также R-оптимальными.
Решением σ(U, H, R) многокритериальной задачи оптимального управления называется множество
всех R-оптимальных управлений
u
*
∈ U.
Обозначим N = H(U) множество всевозможных исходов, получаемое при использовании всех до-
пустимых управлений u
*
∈ U. Справедливо следующее утверждение.
Теорема 1. Если N – замкнутое, ограниченное множество в E
n
, R-отделимое отношение, то мно-
гокритериальная задача оптимального управления имеет решение, т.е. (U, H, R) ≠ ∅.
Доказательство. В силу замкнутости и ограниченности множества D множество Arg max (λ, Н) ≠
0. Пуст Н
*
∈ Arg max(λ, Н) и u
*
∈ U, такое, что Н
*
= Н(и
*
). Здесь Arg max (λ, Н) = {Н
*
: Н
*
∈ D , (λ, H
*
) >
> (λ, H), ∀ H ∈
D
}. Покажем, что и
*
∈ σ(
D
, Н, R). Действительно, предположим, что некоторое u ∈ U
более предпочтительно, чем u
*
, т.е. H(u)RH(u
*
). Тогда в силу λ-отделимости выполняется условие
(λ, Н) = (λ, Н(и
*
)) > (λ, Н(и
*
)) = (λ, Н
*
).
Это противоречит тому, что Н
*
∈ Arg max (λ, Н). Теорема доказана.
Основным способом нахождения решений задач многокритериальной оптимизации является ис-
пользование λ-сверткой исходной задачи. Пусть λ ∈ Е
n
. Будем называть λ-сверткой многокритериаль-
ной задачи <U, H, R> однокритериальную задачу <U(λ, H), R'>, где отношение R' определено как >
(«больше») Следующая теорема позволяет найти R-оптимальные управления в многокритериальной за-
даче.
Теорема 2. Если и
*
– любое оптимальное управление в задаче
< U, (λ, Н), R' >, где λ ∈ E
n
, то u
*
∈ σ(U, H, R) для любого λ-отделимого отношения R.
Доказательство. Достаточно заметить, что Н(u
*
) ∈ Arg max (λ, Н), и далее повторить схему доказа-
тельства теоремы 1.
3.1.3 Эффективные и слабоэффективные оценки и решения
При исследовании сложных систем критерий для оценки управленческих решений, как правило,
является вектором, поэтому выбор наилучшего решения – нетривиальная задача. В многокритери-
альной задаче максимизация векторной оценки довольно легко установить предпочтительность од-
ной оценки другой, если эти оценки отличаются только одной компонентой. Для этого достаточно
сравнить несовпадающие компоненты по отношению > («не меньше») и отдать предпочтение той
оценке, у которой соответствующая компонента больше.
Если отношение нестрогого предпочтения R транзитивно, то для любых двух векторных оценок у и
у', таких, что y
i
> y
i
', (i = 1, 2, ..., n), используя отношение >, для их компонент можно написать:
.)...,,,(),...,,,(
;...
;)...,,,()...,,,(
;)...,,,()...,,,(
21121
2121
2121
nnn
nn
nn
yyyRyyyy
yyyRyyy
yyyRyyy
′′′′
′′′
′
−
(3.4)
Из этих соотношений и транзитивности R следует, что верно yRy', т.е. векторная оценка у не менее
предпочтительна, чем у'.
Предположение о транзитивности отношения R является настолько естественным, что часто фор-
мулируется в виде аксиомы, называемой аксиомой Парето.
Пусть U – множество допустимых альтернатив (управлений). Каждое из управлений u ∈ U оценива-
ется с помощью векторного критерия H(u) = {H
1
(u), ..., H
i
(u), ..., H
n
(u)} (предположим, что степень
предпочтительности управления увеличивается с возрастанием компонент вектора Н). Введем в про-
странстве оценок Е
n
отношение строгого

Страницы