Системный анализ в информационных технологиях - 74 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Основной задачей многокритериальной оптимизации является выделение оптимального решения из
множества всех решении. Естественно, что хорошим следует считать метод, когда выделенное решение
оказывается эффективным или слабоэффективным. Рассмотрим некоторые методы выбора оптимально-
го решения, основанные на скаляризации многокритериальной задачи. Первый метод состоит в том, что
вначале находят точки максимума u
i
для каждого из критериев в отдельности, а затем в качестве опти-
мального решения выбирают такое значение u
*
, которое минимизирует максимальное отклонение оцен-
ки H
i
(u) от соответствующих максимальных значений H
i
(u'). Обозначим
)(max
*
uHY
i
Uu
i
∈
= . (3.5)
РАССМОТРИМ ВЫРАЖЕНИЕ
*
*
1
)(
max
i
ii
ni
y
uHy −
≤≤
, (3.6)
оценивающее максимальное отклонение оценки Н(и) произвольного решения u ∈ U от вектора у
*
= {у
1
,
*
2
y , ...,
*
n
y }, представляющего собой вектор максимумов по каждому критерию. В качестве оптимальной
точки u
*
∈ U предлагается выбрать точку и
*
, минимизирующую выражение (3.6), т.е. u
*
выбирается из
условия
*
*
1
*
**
1
)(
maxmin
)(
max
i
ii
ni
Uu
i
ii
ni
y
uHy
y
uHy −
=
−
≤≤
∈
≤≤
.
Решение и
*
всегда слабоэффективно, а если оно единственно
(с точностью до эквивалентности), то и эффективно. Действительно, предположим, что и
*
не является
слабоэффективным. Тогда существует решение u
0
∈ U, такое, что H
i
(u
0
) > H
i
(u
*
) для всех i = l, 2, ..., п.
Отсюда следует, что
,
)()(
*
0*
*
**
i
ii
i
ii
y
uHy
y
uHy −
>
−
i = 1, 2, …, n;
.
)(
max
)(
maxmin
)(
max
*
0*
1
*
*
1
*
**
1
i
ii
ni
i
ii
ni
Uu
i
ii
ni
y
uHy
y
uHy
y
uHy −
>
−
=
−
≤≤≤≤
∈
≤≤
Последнее неравенство означает, что и
*
не является решением, минимизирующим выражение (3.6).
Полученное противоречие доказывает, что решение и
*
является слабоэффективным. Бели u
*
– единст-
венное решение, минимизирующее выражение (3.6), то для любого и ∈ U выполняется неравенство
*
*
1
*
**
1
)(
max
)(
max
i
ii
ni
i
ii
ni
y
uHy
y
uHy −
<
−
≤≤≤≤
.
Это означает, что для любого u ∈ U найдется номер i
0
, такой,
что Н
i
0
(и
*
) > Н
i
0
(и), т.е. не существует решения u ∈ U, для которого Н(и) ≥ Н(и
*
), и, следовательно, и
*
является эффективным.
Характерным методом решения задач многокритериальной оптимизации является метод главного
критерия. Он состоит в том, что исходная многокритериальная задача сводится к задаче оптимизации по
одному критерию с заданными ограничениями на остальные. Выбранный критерий Н
j
называется глав-

Страницы