Системный анализ в информационных технологиях - 76 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

лученное решение должно быть эффективным. Аксиома 4 означает, что если даже имеются большие
возможности для выбора (
H
, u ), можно выбрать это решение при меньших возможностях, если этот
вектор реализуем.
Будем для простоты считать, что в множестве D существует вектор Н, каждая i-я координата кото-
рого строго больше H
i
(u
0
), т.е. решение u
0
не является эффективным.
Имеет место следующая теорема.
Теорема 3. Функция ϕ может быть выбрана в виде
ϕ( D , H(u
0
)) = {(
H
, u ):
D∈
≥
H
uHH
)(
0
max g (H, D , H(u
0
))} =
= g (
H
,( u ), D , H(u
0
)),
где g(
H
,
D
, Н(и
0
)) =
∏
=
−
n
i
ii
uHH
1
0
))(( удовлетворяет аксиомам 1 – 4.
Построение отображения ϕ в виде (3.8) означает не что иное, как максимизацию скаляризованного
критерия, который в данном случае представляет собой произведение приращений по каждому из кри-
териев. Поскольку функция g(H,
D
, Н(и
0
)) удовлетворяет аксиомам 1 – 4, то применение арбитражной
схемы с функцией ϕ, выбранной в виде (3.8), позволяет получить оптимальное решение многокритери-
альной задачи.
В предыдущем параграфе мы уже говорили о том, что основным методом решения многокрите-
риальных задач является скаляризация векторного критерия и решение λ-свертки многокритери-
альной задачи.
Для того чтобы использовать этот метод для нахождения эффективных и слабоэффективных реше-
ний, необходимо установить, для каких значений λ ∈ E
n
отношение Парето и Слейтера λ-отделимо.
Справедливы следующие леммы.
Лемма 2. Отношение Парето (≥) λ-отделимо при любых λ ∈ E
n
с положительными компонентами.
Доказательство. Выберем в множестве D две любые оценки Н
1
и Н
2
, такие, что Н
1
≥ Н
2
. Это озна-
чает, что для всех j = 1, 2, ..., п Н
1
≥ Н
2
и существует j, такое, что Н
1
> Н
2
. Отсюда для любых λ
i
> 0
справедливо неравенство
∑∑
==
λ>λ
n
i
ii
n
i
iH
H
i
1
2
1
1
,
т.е. отношение Парето λ-отделимо.
Лемма 3. Отношение Слейтера (>) λ-отделимо для всех неотрицательных λ ∈ E
n
.
Доказательство. Необходимо повторить схему доказательства леммы 2 с учетом свойств отноше-
ния Слейтера.
Пусть
P
D и
S
D – соответственно, множества эффективных и слабоэффективных оценок. Справедли-
ва следующая теорема.
Теорема 4. Для любых λ ∈ E
n
и µ ∈ E
n
таких, что λ > 0, µ ≥ 0, справедливо
P
H
H D
D
⊂λ
∈
),(maxArg ,
S
H
H D
D
⊂µ
∈
),(maxArg .
Доказательство непосредственно следует из лемм 2 и 3.
Теорема 4 позволяет находить эффективные и слабоэффективные решения с помощью макси-
мизации свертки критериев.

Страницы