Системный анализ в информационных технологиях - 78 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

)}()(:)({),(
0
0
0
0
xCTxTxtTx
tT −
∈=−χ , (3.10)
а множество оценок будет иметь вид
)}()(:))(({),(
0
0
0
0
xCTxTxHtTx
tT −
∈=−D . (3.11)
Множества D и χ зависят от параметров х
0
, t
0
, представляющих собой начальные условия для зада-
чи (3.9). Поскольку решение сформулированной динамической многокритериальной задачи оптимиза-
ции зависит от x
0
, T – t
0
, будем обозначать ее через Г(x
0
, T – t
0
).
Итак, мы имеем динамическую многокритериальную задачу оптимизации Г(x
0
, T – t
0
), множество
всевозможных исходов χ(x
0
, T – t
0
), определенных в (3.10), и множество всевозможных оценок D (x
0
, T –
t
0
), определенных в (3.11). Пусть даны:
),(),(
0
0
0
0
tTxtTx
P
−∈− DD
–
множество эффективных оценок (Парето-оптимальных), ),(),(
0
0
0
0
tTxtTx
S
−⊂− DD – множество слабоэф-
фективных оценок (оптимальных по Слейтеру) и )),((
0
0
tTxP −χ и )),((
0
0
tTxS −χ – соответствующие мно-
жества оптимальных управлений.
Пусть )(tu – некоторое оптимальное управление, a )(tx – соответствующая этому управлению оп-
тимальная траектория. Рассмотрим в каждый момент времени t ∈ [t
0
, T] задачу многокритериальной
оптимизации с начальными условиями t, )(tx , которую обозначим через )),((Г tTtx − .
В общем случае траектория )(τx , t ≤ τ ≤ T не обязательно является оптимальной в задаче )),((Г tTtx
−
.
Такое свойство оптимальных решений называется динамической неустойчивостью. С другой стороны,
если )(τx является оптимальной траекторией в текущей задаче многокритериальной оптимизации
)),((Г tTtx − ∀ t ∈ [t
0
, T], то оптимальное управление )(tu и траекторию )(tx называют динамически
устойчивыми.
Если динамически устойчивыми оказываются все оптимальные управления, то говорят о динамиче-
ской устойчивости решения и принципа оптимальности.
Вопрос динамической устойчивости тесно связан с выбором принципа оптимальности. Существует
целый ряд принципов оптимальности, для которых оптимальные решения оказываются динамически
устойчивыми. К таким принципам относятся оптимальность по Парето и Слейтеру, равновесие по Нэшу
и ряд других. Существуют также принципы оптимальности, которые не обладают свойством динамиче-
ской устойчивости.
В рамках данного параграфа мы покажем динамическую устойчивость Парето-оптимальных реше-
ний. Действительно, пусть ),(
0
0
tTx
P
−D – Парето-оптимальное множество оценок и )),((
0
0
tTxP −χ – Па-
рето-оптимальное множество решений (управлений) в многокритериальной динамической задаче опти-
мизации
Г(x
0
, T – t
0
) для начального состояния x
0
с предписанной продолжительностью T – t
0
. Пусть {H
i
*
} = H
*
–
вектор оценок из множества
),(
0
0
tTx
P
−D . Предположим, что выбраны управление u(t) и соответствую-
щая траектория x(t), при которых в конце процесса реализуется оценка H
*
= {H
i
*
}. Это означает, что
управление u(t) таково, что x(t) в момент времени Т (в момент окончания процесса) проходит через точ-
ку х(Т), в которой Н(х(Т)) = {H
i
(x(T))} равно как раз вектору полезностей H
*
= {H
i
*
}. Пусть
0
tT
C
−
– мно-
жество достижимости управляемой системы из начального состояния x
0
. Рассматривая изменение этого
множества вдоль траектории x(τ), можно заметить, что
))(())((
21
21
τ⊃τ
τ−τ−
xCxC
TT
, Tt ≤τ<τ≤
210
. (3.12)
Из (3.12) имеем
)),(()),((
2211
τ−τ
⊃
τ
−
τ
TxTx DD . (3.13)

Страницы