Системный анализ в информационных технологиях - 79 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Поскольку вектор H
*
= {H
i
*
} принадлежит Парето-оптимальному множеству, то не существует та-
кого вектора
*
'
H
H
≠ , принадлежащего ),,(
0
0
tTx −D что
*
ii
HH ≥
′
для всех i = l, 2, ..., п. Поэтому из (3.13)
следует, что тем более это имеет место для множества )),((
τ
−
τ
TxD , Tt
≤
τ
≤
0
. Следовательно, вектор оце-
нок H
*
= {H
i
*
} не доминируется ни одним из векторов множества )),((
τ
−
τ
TxD , или, что то же, принадле-
жит Парето-оптимальному множеству текущей задачи с начальным условием х(τ) и продолжительно-
стью Т – τ. Таким образом, вектор H
*
во всех текущих задачах остается Парето-оптимальным при дви-
жении системы вдоль оптимальной траектории х(τ). Поскольку вектор полезностей Н
*
был выбран про-
извольно из множества ),(
0
0
tTx
P
−D , то это означает динамическую устойчивость любого Парето-
оптимального решения, а следовательно, и Парето-оптимального множества в целом.
3.2.2 Принцип максимума в многокритериальных задачах
Мы уже говорили, что основным методом решения многокритериальных задач является их скаляри-
зация и рассмотрение λ-свертки исходной задачи. Это позволяет заменить многокритериальную задачу
оптимального управления на задачу с одним критерием, а затем воспользоваться для отыскания опти-
мальных решений принципом максимума Понтрягина. Рассмотрим систему дифференциальных уравне-
ний
UuExuxFx
m
∈
∈
=
,),,(
&
,
],[,)(
0
0
0
Tttxtx ∈= . (3.14)
Критерий качества управления выберем в виде
))((),(),(
00
0
TxHdtuxfuxK
T
t
+=
∫
. (3.15)
Однокритериальной задачей оптимального управления называется задача
max),( →uxK ,
Uuxtxuxfx ∈== ,)(),,(
0
0
&
. (3.16)
Если в правой части выражения (3.15) ,0),,(
0
≡
tuxf то критерий качества называется терминальным,
а если H
0
(x(T)) ≡ 0 – интегральным.
Существует стандартный способ сведения интегрального критерия к терминальному с помощью увели-
чения числа фазовых переменных.
В однокритериальных задачах поступают следующим образом. Положим
∫
τττ=
t
t
duxftx
0
))(),(()(
00
.
Тогда x
0
(t) удовлетворяет дифференциальному уравнению
))(),(()(
00
tutxftx
=
&
(3.17)
при начальном условии x(t
0
) = 0.
Добавим уравнение (3.17) с начальным условием к системе (3.14). Критерий качества (3.15) примет вид
))(()(),(
00
TxHTxuxK
+
=
.
Очевидно, что полученный критерий является терминальным. Поэтому, не умаляя общности, рас-
смотрим однокритериальную задачу с терминальным критерием

Страницы