Системный анализ в информационных технологиях. Громов Ю.Ю - 53 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Доказательство. Предположим, что a
≥ b. Если a = b, то очевидно (λ, a) = (λ, b) для любого λ ∈ М. Пусть для некоторо-
го номера j
≤ n имеет место строгое неравенство a
j
≥ b
j
. Обозначим p = max{A, B}, где A =
∑
≠ ji
i
a , B =
∑
≠ ji
i
b . Если p = 0, то
(
λ, a)= λ
i
a
i
> λ
i
b
i
= (λ, b) для любых λ
i
> 0.
Если p > 0, положим r = (a
j
– b
j
) / 2p > 0.
Поскольку p
≥ (A + B) / 2, то (a
j
– b
j
) = 2pr ≥ r (A + B), откуда a
j
– rA ≥ b
j
– rB.
Учитывая
∑
∑
≠≠
−≥
jiji
ii
aa = – AB =
∑
∑
≠≠
≥
jiji
ii
bb
получим a
j
+
∑
i
ar ≥ b
j
+
∑
i
b .
Выберем
λ
j
= 1/(1 + r (n – 1)), λ
i
= r / (1 + r (n – 1)) при i ≠ j, тогда окончательно получим (λ, a) ≥ (λ, b).
Для произвольного бинарного отношения R часто возникает задача: среди элементов множества E
n
найти недомини-
руемые по бинарному отношению R. Элемент a называется недоминируемым по бинарному отношению R, если не сущест-
вует
n
Eb ∈ , такого, что bRa. Для решения задачи могут быть использованы свойства этих отношений. Одним из основных
свойств такого рода является отделимость.
Пусть
n
E∈λ . Отношение R на E
n
называется λ-отделимым, если aRb ⇒ (λ, a)> (λ, b).
Если неравенство заменить на нестрогое, то получим понятие нестрогой
λ-отделимости.
Пусть отношение
λ
1
-отделимо и λ
2
-отделимо, т.е.
aRb ⇒ (λ
1
, a) > (λ
1
, b), (λ
2
, a) > (λ
2
, b).
Тогда, очевидно, отношение R будет (λ
1
+ λ
2
)-отделимым. Если R λ-отделимо и k – положительная константа, то R явля-
ется
k
λ-отделимым. Таким образом, множество векторов λ, для которых R λ-отделимо, представляет собой конус.
Рассмотрим векторный критерий Н(и). Для каждого u
∈ U, Н(и) есть вектор пространства E
n
. Сформулируем понятие
оптимальности для произвольного бинарного отношения R. Управление u
*
∈ U называется оптимальным, если не существу-
ет такого u
∈ U, что вектор Н(и) более предпочтителен, чем Н(и
*
), т.е. Н(и)
R
Н(и
*
) для всех u ∈ U. Такие управления иногда
называют также R-оптимальными.
Решением
σ(U, H, R) многокритериальной задачи оптимального управления называется множество всех R-оптимальных
управлений
u
*
∈ U.
Обозначим N = H(U) множество всевозможных исходов, получаемое при использовании всех допустимых управлений
u
*
∈ U. Справедливо следующее утверждение.
Теорема 1. Если N – замкнутое, ограниченное множество в E
n
, R-отделимое отношение, то многокритериальная за-
дача оптимального управления имеет решение, т.е. (U, H, R)
≠ ∅.
Доказательство. В силу замкнутости и ограниченности множества
D множество Arg max (λ, Н) ≠ 0. Пуст Н
*
∈ Arg
max(
λ, Н) и u
*
∈ U, такое, что Н
*
= Н(и
*
). Здесь Arg max (λ, Н) = {Н
*
: Н
*
∈ D , (λ, H
*
) > (λ, H), ∀ H ∈ D }. Покажем, что и
*
∈
σ( D , Н, R). Действительно, предположим, что некоторое u ∈ U более предпочтительно, чем u
*
, т.е. H(u)RH(u
*
). Тогда в силу
λ-отделимости выполняется условие
(λ, Н) = (λ, Н(и
*
)) > (λ, Н(и
*
)) = (λ, Н
*
).
Это противоречит тому, что Н
*
∈ Arg max (λ, Н). Теорема доказана.
Основным способом нахождения решений задач многокритериальной оптимизации является использование
λ-сверткой
исходной задачи. Пусть
λ ∈ Е
n
. Будем называть λ-сверткой многокритериальной задачи <U, H, R> однокритериальную зада-
чу <U(
λ, H), R'>, где отношение R' определено как > («больше») Следующая теорема позволяет найти R-оптимальные
управления в многокритериальной задаче.
Теорема 2. Если и
*
– любое оптимальное управление в задаче < U, (λ, Н), R' >, где λ ∈ E
n
, то u
*
∈ σ(U, H, R) для лю-
бого
λ-отделимого отношения R.
Доказательство. Достаточно заметить, что Н(u
*
) ∈ Arg max (λ, Н), и далее повторить схему доказательства теоремы 1.
3.1.3. Эффективные и слабоэффективные оценки и решения
При исследовании сложных систем критерий для оценки управленческих решений, как правило, является вектором, по-
этому выбор наилучшего решения – нетривиальная задача. В многокритериальной задаче максимизация векторной оценки
довольно легко установить предпочтительность одной оценки другой, если эти оценки отличаются только одной компонен-
той. Для этого достаточно сравнить несовпадающие компоненты по отношению > («не меньше») и отдать предпочтение той
оценке, у которой соответствующая компонента больше.
Если отношение нестрогого предпочтения R транзитивно, то для любых двух векторных оценок у и у', таких, что y
i
> y
i
',
(i = 1, 2, ..., n), используя отношение >, для их компонент можно написать:

Страницы