Системный анализ в информационных технологиях. Громов Ю.Ю - 55 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Рассмотрим выражение
*
*
1
)(
max
i
ii
ni
y
uHy −
≤≤
, (3.6)
оценивающее максимальное отклонение оценки Н(и) произвольного решения u ∈ U от вектора у
*
= {у
1
,
*
2
y , ...,
*
n
y }, пред-
ставляющего собой вектор максимумов по каждому критерию. В качестве оптимальной точки u
*
∈ U предлагается выбрать
точку и
*
, минимизирующую выражение (3.6), т.е. u
*
выбирается из условия
*
*
1
*
**
1
)(
maxmin
)(
max
i
ii
ni
Uu
i
ii
ni
y
uHy
y
uHy −
=
−
≤≤
∈
≤≤
.
Решение и
*
всегда слабоэффективно, а если оно единственно (с точностью до эквивалентности), то и эффективно. Дей-
ствительно, предположим, что и
*
не является слабоэффективным. Тогда существует решение u
0
∈ U, такое, что H
i
(u
0
) > H
i
(u
*
) для всех i = l, 2, ..., п. Отсюда следует, что
,
)()(
*
0*
*
**
i
ii
i
ii
y
uHy
y
uHy −
>
−
i = 1, 2, …, n;
.
)(
max
)(
maxmin
)(
max
*
0*
1
*
*
1
*
**
1
i
ii
ni
i
ii
ni
Uu
i
ii
ni
y
uHy
y
uHy
y
uHy
−
>
−
=
−
≤≤≤≤
∈
≤≤
Последнее неравенство означает, что и
*
не является решением, минимизирующим выражение (3.6). Полученное проти-
воречие доказывает, что решение и
*
является слабоэффективным. Если u
*
– единственное решение, минимизирующее выра-
жение (3.6), то для любого и
∈ U выполняется неравенство
*
*
1
*
**
1
)(
max
)(
max
i
ii
ni
i
ii
ni
y
uHy
y
uHy
−
<
−
≤≤≤≤
.
Это означает, что для любого u ∈ U найдется номер i
0
, такой, что Н
i
0
(и
*
) > Н
i
0
(и), т.е. не существует решения u ∈ U, для
которого Н(и)
≥ Н(и
*
), и, следовательно, и
*
является эффективным.
Характерным методом решения задач многокритериальной оптимизации является метод главного критерия. Он состоит
в том, что исходная многокритериальная задача сводится к задаче оптимизации по одному критерию с заданными ограниче-
ниями на остальные. Выбранный критерий Н
j
называется главным. Для остальных критериев задаются некоторые пороговые
значения h
i
, т.е. многокритериальная задача сводится к задаче
)(max uH
j
Uu
∈
,
H
i
(u) ≥ h
i
, i = 1, 2, ..., n, i ≠ j. (3.7)
Любое решение и
0
этой задачи считается оптимальным решением многокритериальной задачи. Заметим, что такое ре-
шение всегда оказывается слабоэффективным, а если оно единственно (с точностью до эквивалентности), то и эффективным.
Действительно, если существует решение
u такое, что H
i
( u ) > H(и
0
) для всех i = 1, 2, ..., п, тогда очевидно для i ≠ j H
i
( u ) >
h
i
, а для главного критерия H
j
( u ) > max H
j
(u) = = H
j
(u
0
), но это противоречит тому, что u
0
является решением задачи (3.7),
т.е. решение u
0
является слабоэффективным. Нетрудно также убедиться, что это решение эффективно, если оно единственно
(с точностью до эквивалентности).
При использовании метода главного критерия на практике обычно берут несколько наборов пороговых значений {h
i
} и
для каждого набора решают задачу (3.7). Может оказаться, что для некоторых наборов система ограничений в задаче (3.7)
окажется несовместной. Это означает, что пороговые значения слишком высоки. После решения задачи (3.7) для каждого
набора пороговых значений производят окончательное назначение величин h
i
и определяют оптимальное решение.
Такой подход к нахождению оптимального решения носит эвристический характер. Поэтому метод главного критерия
целесообразно применять в том случае, если имеются какие-либо соображения о подходящих значениях пороговых величин
h
i
. Преимущество метода главного критерия заключается в том, что он позволяет ограничиться рассмотрением сравнительно
небольшой части всего множества эффективных решений.
Еще одним методом выбора оптимального решения являются так называемые арбитражные схемы. Метод формулиру-
ется при некоторых предположениях о структуре множества
D и функциях H
i
(u), i = 1, 2, ..., п. Однако он может быть при-
менен и в более общем случае.
Будем считать, что множество
D всевозможных оценок выпукло и компактно в Е
п
. Рассмотрим некоторое исходное до-
пустимое решение u
0
∈ U, которое называется консервативным и подлежит улучшению при решении данной многокритери-
альной задачи. Значения вектора оценок Н(и) в точке u
0
∈ U: H(u
0
) = {H
1
(u
0
), Н
2
(u
0
), ..., Н
п
(u
0
)} называется точкой статус-кво.
Под арбитражной схемой понимается правило
ϕ, которое каждой паре (
D
, Н(u
0
)) ставит в соответствие некоторую пару
(
Hu, ) = ϕ ( D , H(u
0
)), где
H
∈ D , u ∈ U и Н = Н( u ) ( u интерпретируется как оптимальное решение).

Страницы