Системный анализ в информационных технологиях. Громов Ю.Ю - 56 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Таким образом, применение арбитражной схемы для определения оптимального решения предполагает, что правило
ϕ
позволяет, отталкиваясь от какого-либо допустимого решения, перейти к оптимальному. Ясно, что выбор оптимального ре-
шения зависит от выбора точки статус-кво. Она интерпретируется как некоторое решение, удобное из каких-либо соображе-
ний в качестве начального приближения к оптимальному. Например, в методе главного критерия, который может быть све-
ден к арбитражной схеме [7, 8, 11], точка статус-кво может быть задана с использованием пороговых значений {h
i
}, а вели-
чина h
j
(пороговое значение для главного критерия) выбрана как допустимое решение задачи (3.7).
Для того чтобы правило
ϕ приводило к оптимальному решению, оно должно удовлетворять некоторым требованиям,
которые мы сформулируем в виде аксиом. Пусть заданы выпуклое замкнутое подмножество
D , точка H(u
0
) ∈ D и пара (u,
H) =
ϕ (
D
, H(u
0
)).
Аксиома 1. Реализуемость:
H
∈ D , u ∈ U,
H
= Н( u ).
Аксиома 2. Индивидуальная рациональность:
H
≥ H(и
0
).
Аксиома 3. Оптимальность по Парето: если Н ∈ D и Н ≥
H
, то
H
= Н.
Аксиома 4. Независимость от посторонних альтернатив: если
H
∈ A ⊂ D и (
H
, u ) = ϕ( D , H, (u
0
)), то (
H
, u ) =
ϕ(A, H(u
0
)).
Первая аксиома означает, что решение, полученное в результате применения правила
ϕ, должно быть допустимым. Ак-
сиома 2 предполагает, что полученное решение должно быть не менее предпочтительно по каждому из критериев, чем кон-
сервативное решение. Третья аксиома говорит о том, что полученное решение должно быть эффективным. Аксиома 4 озна-
чает, что если даже имеются большие возможности для выбора (
H
, u ), можно выбрать это решение при меньших возмож-
ностях, если этот вектор реализуем.
Будем для простоты считать, что в множестве
D
существует вектор Н, каждая i-я координата которого строго больше
H
i
(u
0
), т.е. решение u
0
не является эффективным.
Имеет место следующая теорема.
Теорема 3. Функция
ϕ может быть выбрана в виде
ϕ( D , H(u
0
)) = {(
H
, u ):
D∈
≥
H
uHH
)(
0
max g (H, D , H(u
0
))} =
=
g (
H
,( u ), D , H(u
0
)),
где g(
H
, D , Н(и
0
)) =
∏
=
−
n
i
ii
uHH
1
0
))(( удовлетворяет аксиомам 1 – 4.
Построение отображения
ϕ в виде (3.8) означает не что иное, как максимизацию скаляризованного критерия, который в
данном случае представляет собой произведение приращений по каждому из критериев. Поскольку функция
g(H, D , Н(и
0
))
удовлетворяет аксиомам 1 – 4, то применение арбитражной схемы с функцией
ϕ, выбранной в виде (3.8), позволяет получить
оптимальное решение многокритериальной задачи.
В предыдущем параграфе мы уже говорили о том, что основным методом решения многокритериальных задач является
скаляризация векторного критерия и решение
λ-свертки многокритериальной задачи.
Для того чтобы использовать этот метод для нахождения эффективных и слабоэффективных решений, необходимо ус-
тановить, для каких значений
λ ∈ E
n
отношение Парето и Слейтера λ-отделимо. Справедливы следующие леммы.
Лемма 2. Отношение Парето (
≥) λ-отделимо при любых λ ∈ E
n
с положительными компонентами.
Доказательство. Выберем в множестве D две любые оценки Н
1
и Н
2
, такие, что Н
1
≥ Н
2
. Это означает, что для всех j =
1, 2, ...,
п Н
1
≥ Н
2
и существует j, такое, что Н
1
> Н
2
. Отсюда для любых λ
i
> 0 справедливо неравенство
∑∑
==
λ>λ
n
i
ii
n
i
iH
H
i
1
2
1
1
,
т.е. отношение Парето λ-отделимо.
Лемма 3. Отношение Слейтера (>)
λ-отделимо для всех неотрицательных λ ∈ E
n
.
Доказательство
. Необходимо повторить схему доказательства леммы 2 с учетом свойств отношения Слейтера.
Пусть
P
D и
S
D – соответственно, множества эффективных и слабоэффективных оценок. Справедлива следующая тео-
рема.
Теорема 4. Для любых
λ ∈ E
n
и µ ∈ E
n
таких, что λ > 0, µ ≥ 0, справедливо
P
H
H D
D
⊂λ
∈
),(maxArg ,
S
H
H D
D
⊂µ
∈
),(maxArg .
Доказательство непосредственно следует из лемм 2 и 3.
Теорема 4 позволяет находить эффективные и слабоэффективные решения с помощью максимизации свертки критери-
ев.

Страницы