Системный анализ в информационных технологиях. Громов Ю.Ю - 54 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

.)...,,,(),...,,,(
;...
;)...,,,()...,,,(
;)...,,,()...,,,(
21121
2121
2121
nnn
nn
nn
yyyRyyyy
yyyRyyy
yyyRyyy
′′′′
′′′
′
−
(3.4)
Из этих соотношений и транзитивности R следует, что верно yRy', т.е. векторная оценка у не менее предпочтительна,
чем у'.
Предположение о транзитивности отношения R является настолько естественным, что часто формулируется в виде ак-
сиомы, называемой аксиомой Парето.
Пусть U – множество допустимых альтернатив (управлений). Каждое из управлений u
∈ U оценивается с помощью век-
торного критерия H(u) = {H
1
(u), ..., H
i
(u), ..., H
n
(u)} (предположим, что степень предпочтительности управления увеличивает-
ся с возрастанием компонент вектора Н). Введем в пространстве оценок Е
n
отношение строгого (>) и нестрогого (≥) пред-
почтения. Будем говорить, что вектор Н' = {Н'
i
} > H" = {H
i
"}, тогда и только тогда, когда Н
i
' > Н
i
" для всех i = 1, 2, ..., n.
Вектор H' > Н" тогда и только тогда, когда Н'
i
>= H
i
'' для всех i = 1, 2, ..., n. и хотя бы для одного i верно Н
i
' > Н
i
".
Два решения u
1
и u
2
называются эквивалентными, если H(u
1
) = H(u
2
).
Обозначим через
D = {Н(u): u ∈ U} множество оценок для всех возможных значений u ∈ U. Довольно очевидно, что
если найдется такой вектор H
*
∈
D
, что Н
*
≥ Н для всех Н ∈
D
, то решение и
*
, для которого Н(и
*
) = Н
*
, следует считать наи-
лучшим (поскольку оно явится наилучшим по всем компонентам векторного критерия Н среди решений u
∈ U).
Векторная оценка H
*
∈ D называется максимальной для отношения ≥ (>), если не существует оценки H ∈ D , такой, что
H
≥ H
*
(H > H
*
). Оценка, максимальная по ≥, называется оптимальной по Парето или эффективной оценкой, а соответствую-
щее решение и
*
– оптимальным по Парето или эффективным.
Таким образом, оптимальное по Парето решение обладает тем свойством, что если и
*
– Парето оптимальное решение,
то из условия Н
i
{и'} ≥ Н
i
(и
*
), i = l, ..., n, должно следовать Н(u') = Н(u
*
).
Множество оценок H
p
∈ H, удовлетворяющих этому условию, называется множеством Парето, или эффективным, а
множество соответствующих решений P(U)
∈ U называется множеством эффективных решений, или Парето оптимальным
множеством, т.е.
P(U) = {u : u ∈ U, H(u) ∈ H
p
}.
Векторная оценка H
s
∈ D , максимальная по >, называется слабоэффективной или слабооптимальной по Парето, или оп-
тимальной по Слейтеру, а соответствующее решение и – оптимальным по Слейтеру или слабоэффективным. Таким образом,
оптимальное по Слейтеру решение обладает тем свойством, что не существует никакого другого решения u'
≠ u ∈ U, которое
превосходит его в смысле порядка > по всем компонентам критерия Н. Иными словами, если и оптимальное по Слейтеру, то
не существует такого u'
∈ U, что H
i
{u') > H
i
(u
*
), i = 1, 2, ..., n.
Множество оценок
D
s
⊂
D
, оптимальных по Слейтеру [7, 8, 11], называется слабоэффективным множеством, а множе-
ство соответствующих решений S(u)
⊂ U – слабоэффективным множеством решений, т.е. S(U) = {u: u ∈ U, для которых не
существует u'
∈ U, таких, что H
i
(u') > H
i
(и), t = 1, 2, ..., п}.
Поскольку из Н > Н' следует Н
≥ Н', то всякая эффективная оценка слабоэффективна, т.е.
sp
DD ⊂ , Р(u) ⊂ S(U).
Проиллюстрируем введенные понятия на простом примере. Пусть множество
D ⊂ R
2
имеет вид, как на рис. 3.5 (случай
двух критериев).
Множество
D
p
совпадает с северо-восточной границей множества D (на рис. 3.5 оно состоит из кривых ab, cd (без точ-
ки с), fg, а множество H
s
состоит из отрезков кривой abed и etg).
Рис. 3.5. Вид множеств
p
D
,
s
D
Основной задачей многокритериальной оптимизации является выделение оптимального решения из множества всех
решений. Естественно, что хорошим следует считать метод, когда выделенное решение оказывается эффективным или сла-
боэффективным. Рассмотрим некоторые методы выбора оптимального решения, основанные на скаляризации многокрите-
риальной задачи. Первый метод состоит в том, что вначале находят точки максимума u
i
для каждого из критериев в отдель-
ности, а затем в качестве оптимального решения выбирают такое значение u
*
, которое минимизирует максимальное откло-
нение оценки H
i
(u) от соответствующих максимальных значений H
i
(u'). Обозначим
)(max
*
uHY
i
Uu
i
∈
= . (3.5)
Н
2
Н
1
a
b
c
d
e
f
g

Страницы