Системный анализ в информационных технологиях. Громов Ю.Ю - 57 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Можно показать, что при некоторых ограничениях на множество D любая эффективная или слабоэффективная оценка
является точкой максимума некоторой свертки.
Определение. Множество S называется выпуклым, если для любых х', x" ∈ S точка kx' + (1 – k)x" ∈ S при всех k ∈
[0, 1]. Множество S называется слабовыпуклым, если выпуклым будет множество S + A, где A = {y : y : y ≤ 0}.
Теорема 5. Пусть
D слабовыпукло. Оценка D∈
*
H эффективна (слабоэффективна) тогда и только тогда, когда су-
ществует такой вектор λ с положительными (неотрицательными) коэффициентами,
1
1
=λ
∑
=
n
i
i
, что (λ, H) ≥ (λ, H
*
) для всех H
∈
D .
Контрольные вопросы
1. Дайте характеристику общей постановки задачи выбора в многокритериальных и иерархических системах.
2.
Что такое альтернатива?
3.
Дайте характеристику отношению.
4.
Что такое эффективные и слабоэффективные оценки?
3.2. МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ УПРАВЛЕНИЯ
3.2.1. Многокритериальные задачи оптимального управления
Большинство моделей сложных систем характеризуются тем, что описываемые ими процессы носят динамический ха-
рактер, т.е. компоненты системы характеризуются величинами, изменяющимися во времени. Функцией времени является
также и управление в этих системах [16, 19].
Рассмотрим следующую систему управления.
Пусть состояние системы описывается вектором x ∈ E
m
. В начальный момент t
0
система находится в состоянии x(t
0
) =
x
0
. Предположим, что динамика изменения компонент системы на отрезке времени [t
0
, T] описывается векторным дифферен-
циальным уравнением
),,( uxfx
=
&
x ∈ E
m
, u ∈ U ⊂ Comp E
n
, (3.9)
где и – управляющий параметр, имеющий смысл внешних воздействий, с помощью которых происходит управление разви-
тием.
Будем считать, что параметр и выбирается непрерывно во времени и получившаяся в результате функция u(t), t ∈ [t
0
, T],
u(t) ⊂ U, измерима по t. Будем также считать выполненными все условия, гарантирующие существование, продолжимость и
единственность решения дифференциального уравнения (3.9) при любом измеримом управлении u(t) на отрезке времени [t
0
,
Т] и при начальном условии x(t
0
) = x
0
. Управление u(t), являющееся только функцией времени, называется программным.
Каждое программное управление u(t), t ∈ [t
0
, T], определяет некоторую траекторию движения x(t), t ∈ [t
0
, T], получаемую как
решение уравнения (3.9) при начальном условии x(t
0
) = x
0
.
Обозначим через U множество допустимых управлений. Выбирая различные управления из множества U, получим раз-
личные траектории. Пусть
)(
0
0
xС
tT −
– множество достижимости уравнения (3.9), т.е. множество точек E
m
, в которые может
попасть решение уравнения (3.9) из начального состояния в момент времени Т при использовании всевозможных программ-
ных управлений u(t) ⊂ U, t ∈ [t
0
, T]. Иными словами, множество достижимости есть множество концов траекторий диффе-
ренциального уравнения (3.9) {х(Т)}, исходящих из начального состояния х
0
при всевозможных программных управлениях
u(t) ∈ U, t ∈ [t
0
, T].
Предположим далее, что качество траектории определяется точкой х(Т), в которую переходит система в результате это-
го развития в конечный момент Т. Таким образом, будем считать, что на множестве достижимости
)(
0
0
xС
tT −
задан век-
торный критерий Н(х(Т)),
),()(
0
0
xCTx
tT −
∈ определяющий качество траектории x(t) и соответствующего управления u(t).
Приходим к динамической многокритериальной задаче оптимизации, в которой множество вариантов решения или исходов
обозначим
)}()(:)({),(
0
0
0
0
xCTxTxtTx
tT −
∈=−χ , (3.10)
а множество оценок будет иметь вид
)}()(:))(({),(
0
0
0
0
xCTxTxHtTx
tT −
∈=−D . (3.11)
Множества D и χ зависят от параметров х
0
, t
0
, представляющих собой начальные условия для задачи (3.9). Поскольку
решение сформулированной динамической многокритериальной задачи оптимизации зависит от x
0
, T – t
0
, будем обозначать
ее через Г(x
0
, T – t
0
).
Итак, мы имеем динамическую многокритериальную задачу оптимизации Г(x
0
, T – t
0
), множество всевозможных исхо-
дов χ(x
0
, T – t
0
), определенных в (3.10), и множество всевозможных оценок D (x
0
, T – t
0
), определенных в (3.11). Пусть даны:
),(),(
0
0
0
0
tTxtTx
P
−∈− DD – множество эффективных оценок (Парето-оптимальных), ),(),(
0
0
0
0
tTxtTx
S
−⊂− DD – множе-
ство слабоэффективных оценок (оптимальных по Слейтеру) и
)),((
0
0
tTxP −χ и )),((
0
0
tTxS −χ – соответствующие множе-
ства оптимальных управлений.

Страницы