Системный анализ в информационных технологиях. Громов Ю.Ю - 59 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

∫
τττ=
t
t
duxftx
0
))(),(()(
00
.
Тогда x
0
(t) удовлетворяет дифференциальному уравнению
))(),(()(
00
tutxftx
=
&
(3.17)
при начальном условии x(t
0
) = 0.
Добавим уравнение (3.17) с начальным условием к системе (3.14). Критерий качества (3.15) примет вид
))(()(),(
00
TxHTxuxK
+
=
.
Очевидно, что полученный критерий является терминальным. Поэтому, не умаляя общности, рассмотрим однокритери-
альную задачу с терминальным критерием
max))((
0
→TxH ,
Uuxtxuxfx ∈== ,)(),,(
0
0
&
. (3.18)
Сформулируем для задачи (3.18) принцип максимума Понтрягина. Пусть u
*
(t), x
*
(t) – оптимальные управления и тра-
ектория в задаче (3.18). Тогда существует вектор-функция
))(...,),(()(
1
ttt
m
ψ
ψ
=
ψ
, такая, что если мы определим функцию
Гамильтона
∑
=
ψ=ψ
m
i
ii
uxftuxB
1
),()(),,( , (3.19)
то будут выполняться следующие необходимые условия:
∑
=
∂
∂
ψ−=ψ
m
j
i
j
ji
x
uxf
tt
1
**
),(
)()(
, i = 1, 2, …, m; (3.20)
i
i
x
TxH
T
∂
∂
=ψ
))((
)(
*
0
, i = 1, 2, …, m; (3.20)
))(,,(max))(,,(
**
tuxBtuxB
Uu
ψ=ψ
∈
. (3.22)
Принцип максимума дает нам необходимые условия оптимальности и позволяет найти управления, которые могут ока-
заться оптимальными. Для того чтобы найти эти управления, необходимо сделать следующее:
1) записать функцию Гамильтона в виде (3.19), подставив соответствующие функции
),( uxf
i
из системы дифференци-
альных уравнений (3.14);
2) выразить с помощью условия (3.22) управление и как функцию остальных переменных:
),( ψ
=
xuu ; (3.23)
3) записать систему дифференциальных уравнений
i
i
x
B
∂
∂
−=ψ
&
,
i
i
x
TxH
T
∂
∂
=ψ
))((
)(
0
, i = 1, 2, …, m;
i
i
B
x
ψ∂
∂
=
&
,
0
0
)(
ii
xtx = , i = 1, 2, …, m; (3.24)
4) подставить в систему (3.24) управление (3.23) и найти ее решение x
*
(t), ψ
*
(t);
5) подставить найденные функции
x
*
(t), ψ
*
(t) в (3.23) и найти управление u
*
(t).
Перейдем теперь к рассмотрению многокритериальной задачи. Пусть динамика системы описывается векторным урав-
нением
Uuxtxuxfx ∈== ,)(),,(
0
0
&
. (3.25)
Относительно управления и выполнены все предположения, обеспечивающие существование и единственность реше-
ния системы (3.25). Введем вектор оценок с компонентами
H
i
(x, и) = H
i
(х(T)), i = 1, 2, ..., n, (3.26)
где функции H
i
(x(T)) непрерывно дифференцируемы. Пусть C
T – t
(х
0
) – множество достижимости системы (3.25), а
D (x(t
0
), T – t
0
) = {H(x(T)): x(T) ∈ C
T – t
(x
0
)} –
множество оценок.

Страницы