Системный анализ в информационных технологиях. Громов Ю.Ю - 60 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Для отыскания решения многокритериальной задачи (3.25), (3.26), которую обозначим
T(x
0
, Т – t
0
), воспользуемся ее
представлением в виде λ-свертки, т.е. рассмотрим однокритериальную задачу
max))((
1
→λ
∑
=
n
i
ii
TxH ,
Uuxtxuxfx ∈== ,)(),,(
0
0
&
. (3.27)
Выберем в качестве принципа оптимальности оптимальность по Парето. Из леммы 3 нам известно, что отношение Па-
рето будет λ-отделимо при положительных λ. Поэтому будем считать, что в задаче (3.27) λ
i
> 0 (i = 1, 2, ..., п).
Тогда из теоремы 4 получим, что любое оптимальное решение (3.27) будет Парето-оптимальным. Принцип максимума
для задачи (3.27) формулируется следующим образом.
Пусть
u
*
(t), x
*
(t) – оптимальные управление и траектория в задаче (3.27). Тогда существует вектор-функция
)(...,),(),(()(
21
tttt
m
ψψψ=ψ , такая, что если мы определим функцию Гамильтона
∑
=
ψ=ψ
m
i
ii
uxftuxB
1
),()(),,( , (3.28)
то будут выполняться следующие необходимые условия:
mi
x
uxf
tt
m
j
i
i
ii
...,,2,1,
),(
)()(
1
**
=
∂
∂
ψ−=ψ
∑
=
&
, (3.29)
mi
x
TxH
T
i
j
ii
...,,2,1,
))((
)(
*
=
∂
∂
λ=ψ
∑
, (3.30)
))(,,(max))(,,(
**
tuxBtuxB
Uu
ψ=ψ
∈
. (3.31)
Алгоритм использования принципа максимума тот же, что и для однокритериальной задали.
Если в задаче (3.27) коэффициенты λ
i
неотрицательны, то полученное оптимальное решение λ-свертки многокритери-
альной задачи в соответствии с теоремой 4 будет оптимальным по Слейтеру (или слабо эффективным).
Контрольные вопросы
1. Назовите последовательность действий, позволяющих найти управление на основе использования принципа макси-
мума.
2.
Какие условия оптимальности дает принцип максимума.
3.3. ЗАДАЧА СБЛИЖЕНИЯ С НЕСКОЛЬКИМИ ЦЕЛЕВЫМИ ТОЧКАМИ
В этом параграфе мы рассмотрим метод отыскания Парето оптимальных решений в многокритериальной задаче сбли-
жения с несколькими целевыми точками. Приложения этой задачи разнообразны – от чисто технических до экономических.
Пусть состояние некоторой системы описывается в начальный момент времени
t
0
вектором
m
Ex ∈
0
. Динамика разви-
тия системы на отрезке времени [
t
0
, T] описывается векторным дифференциальным уравнением
im
EUuExuxfx ⊂∈
∈
=
,),,(
&
. (3.32)
Каждому начальному условию x(t
0
) = x
0
и измеримому программному управлению u(t) при t ∈ [t
0
, Т] соответствует (при
выполнении некоторых требований к правой части уравнения (3.32)) единственная траектория, определенная на отрезке [
t
0
,
Т].
Пусть
)(
0
0
xC
tT −
– множество достижимости системы (3.32), т.е. множество состояний x(Т), в которых может оказаться
система в момент времени
Т при всевозможных допустимых управлениях. Предположим, что это множество выпукло и ком-
пактно и имеет гладкую границу.
Будем считать для удобства изложения, что управлением в модели распоряжается некоторый субъект управления, кото-
рый называем центром
A
0
, а конечное состояние системы x(Т) оценивается несколькими «экспертами» B
1
, B
2
, …, B
n
. Каждый
из экспертов в соответствии со своим пониманием стоящих перед системой целей развития определяет целевую точку
M
i
.
Целевые точки
M, могут находиться достаточно близко друг от друга, однако предположение об их совпадении было бы
слишком сильной идеализацией.
В результате полезность каждой точки
x(T) ∈ )(
0
0
xC
tT −
может быть оценена центром с точки зрения ее близости к це-
левым точкам
М
1
, ..., М
n
. Поэтому получаем связанный с каждой точкой х(Т) вектор оценок, который называется также век-
тором
экспертных оценок:

Страницы