Системный анализ в информационных технологиях. Громов Ю.Ю - 61 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

))}(({)}),(({ TxHMTx
ii
=
ρ
−
. (3.33)
где ρ – евклидово расстояние между точками х(Т), M
i
.
Математическая задача сводится к нахождению оптимальных траекторий развития в смысле векторного критерия
Н(х).
Напомним, что управление
)(tu называется оптимальным по Парето, если не существует такого управления u(t), что
nituTxHtuTxH
ii
...,,2,1)),(),(())(),((
=
≤
,
и хотя бы для одного i
0
))(),(())(),((
00
tuTxHtuTxH
ii
<
,
где H(x(T), u(t)) – вектор оценок при использовании управления u(t), a x(t) – соответствующая траектория.
Оптимальное по Парето управление мы будем обозначать через
u
P
, а соответствующую траекторию – через x
P
(t).
Определим структуру множества Парето в рассматриваемой задаче.
В множестве достижимости
)(
0
0
xC
tT −
у каждого эксперта B
i
имеется своя наилучшая точка х(Т), такая, что
)(
0
0
),(min)),((
xC
ii
tT
MMTx
−
∈ξ
ξ
ρ
=
ρ .
Однако, вообще говоря, ни один из В
i
, не может гарантировать достижения своего наилучшего результата. Можно ожи-
дать, и это естественно, что в результате анализа экспертных оценок в начале процесса центр ограничится рассмотрением
множества терминальных точек, заключенных в некотором смысле «между» наилучшими точками для каждого из
В
i
.
Покажем, что именно множество точек такой структуры соответствует множеству оптимальных по Парето решений.
Каждой точке
0
)(
tT
CTx
−
∈ соответствует вектор
))),((...,),),((())((
1 n
MTxMTxTxH
ρ
−
ρ
−
= .
Обозначим через
)}()(:))(({),(
00
0
0
xCTxTxHt
tT −
∈=λD
множество всевозможных реализуемых в момент Т полезностей, а подмножество множества
),(
0
0
xtD
, соответствующее
множеству оптимальных по Парето управлений, обозначим через Р(x
0
):
))}(({)(
0
TxHxP
p
=
.
Пусть }...,,2,1,{conv
ˆ
niMM
i
== , где }...,,2,1,{conv niM
i
=
– выпуклая оболочка точек M
i
.
Обозначим через π оператор ортогонального проектирования из пространства
E
m
на некоторое выпуклое компактное
множество
В. Под ортогональной проекцией точки )( BxEx
m
∈
∈
на В будем понимать точку Bx
B
∈π , такую, что
),(min),,( yxxx
By
B
ρ=πρ
∈
. (3.34)
Данную точку назовем образом, а точку х – прообразом оператора проектирования. Под ортогональной проекцией точ-
ки
х ∈ В на В будем понимать саму точку х, а под ортогональной проекцией A
B
π
некоторого множества А на множество В –
множество ортогональных проекций, входящих во множество
A точек на В.
Имеют место следующие вспомогательные утверждения, которые мы приведем здесь без доказательств.
Утверждение 1. Пусть
В – замкнутое выпуклое множество в Е
m
и х ∈ Е
m
– некоторая точка, не принадлежащая В.
Тогда для всех
у ∈ В справедливо неравенство
),(),( yxyx
B
ρ
≤
π
ρ
.
Рассмотрим множество
21
)1( yy λ−+λ=ω
λ
,
m
Ey ∈
1
,
m
Ey ∈
2
, ]1,0[
∈
λ
, и выберем в пространстве Е
m
точки x
1
и х
2
,
которые не принадлежат множеству
λ
ω . Введем функцию
),(),()(
21
λλ
ωρ−ωρ=λ xxF .
Утверждение 2. Из 0)( ≥λF при λ, равных 0 и 1, следует, что 0)( ≥
λ
F при всех )1,0(∈λ .
Утверждение 3. Пусть
r
Q – r-мерный замкнутый выпуклый многогранник в
m
E с вершинами
q
QQQ ...,,,
21
. То-
гда для всех
r
Qy ∈
и
r
Qx ∈
существует хотя бы одно }...,,2,1{ qi
∈
, такое, что ),(),(
ii
QxQy ρ
<
ρ
.
Утверждение 4. Пусть
r
Q – r-мерный замкнутый многогранник в
m
E с вершинами
q
QQQ ...,,,
21
, а x, у – некото-
рые точки пространства
m
E , не принадлежащие
r
Q
. Если найдется точка
r
Q∈ξ
для которой
),(),(
ξ
ρ<ξρ xy
, то хотя бы
для одного
}...,,2,1{ qi ∈ выполнено неравенство ),(),(
ii
QxQy
ρ
<
ρ
.

Страницы