Системный анализ в информационных технологиях. Громов Ю.Ю - 62 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

В справедливости данных утверждений нетрудно убедиться, рассмотрев их геометрическую иллюстрацию в простран-
ствах
Е
2
или Е
3
.
Рассмотрим различные случаи расположения точек
n
MMM ...,,,
21
и области достижимости )(
0
0
xC
tT −
.
1.
=∩
−
)(
ˆ
0
0
xCM
tT
∅. В этом случае целевые точки недостижимы (рис. 3.6).
Введем функцию
),(),'()(
ξ
ρ
−
ξ
ρ
=
ξ
xyF
и множество
}';
ˆ
{
)(
0
0
yyMyY
xC
tT −
π∈∈= .
Рис. 3.6. Случай 1
Для определения возьмем
Yy ∈ :
),'((min),'( yyyy
Yy
ρ
=
ρ
∈
.
Такая точка существует, так как Y компактно. По определению точки y для всех х из (3.34) справедливо неравенство
F(
y
) < 0. Тогда из утверждения 3 вытекает неравенство
),(),'(
ii
MxMy
ρ
<
ρ
хотя бы для одного ni ...,,1= , т.е. )()'( xHyH
ii
> . А это означает, что ).()'(
0
xPyH ∈
Покажем, что, кроме точек множества
M
xC
tT
ˆ
)(
0
0
−
π , в множестве )(
0
0
xC
tT −
нет точек, обладающих свойством (3.35).
Это значит, что для любых
MxCx
xC
tT
tT
ˆ
\)(
)(
0
0
0
0
−
π∈
−
найдется точка
My
tT
C
ˆ
~
0
−
π∈
, в которой
nixHyH
ii
...,,2,1),()
~
( =≥ . (3.35)
Рассмотрим множества
)
ˆ
,
ˆ
(conv
ˆ
)(
1
0
0
MMM
xC
tT −
π= ; MM
xC
tT
ˆ
conv
ˆ
)(
2
0
0
−
π= .
Очевидно, что
12
ˆˆ
MM ⊂
, согласно утверждению 3 для любых
1
0
ˆ
\)(
0
MxCx
tT −
∈ существует My
xC
tT
ˆ
)(
~
0
0
−
π∈ , удовле-
творяющий неравенству (3.35).
Пусть теперь
MMx
xC
tT
ˆ
\
ˆ
)(
2
0
0
−
π∈ , а
x
M
ˆ
π
– ее образ на
M
ˆ
. Поскольку множество )(
0
0
xC
tT −
по определению выпукло
и
)(
ˆ
0
)(
0
0
0
xCM
tT
xC
tT
−
⊂π
−
(ввиду пустоты множества )(
ˆ
0
0
xCM
tT −
∩ , где )(
0
0
xC
tT −
– граница множества )(
0
0
xC
tT −
), то
существует точка
λ
ω∩π∈
−
Mx
xC
tT
ˆ
)(
1
0
0
,
xx
M
ˆ
)1( πλ−+λ=ω
λ
, ]1,0[
∈
λ
. Эта точка является искомой, ибо она удовлетворяет
неравенству (3.35).
Итак, только точки множества
M
xC
tT
ˆ
)(
0
0
−
π обладают свойством (3.35). Следовательно,
}
ˆ
|)({)(
)(
0
0
0
MyyHxP
xC
tT −
π∈= .
С
T
–
t
0
(x
0
)
М
1
М
2
М
3
М
4

Страницы