Системный анализ в информационных технологиях. Громов Ю.Ю - 63 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Таким образом, в этом случае Парето-оптимальные точки
)(tx
P
являются проекциями выпуклой оболочки целевых то-
чек.
2.
).(
ˆ
0
0
xCM
tT −
⊂ Все целевые точки достижимы (рис. 3.7).
Из утверждения 3 следует, что в множестве
)(
0
0
xC
tT −
, кроме точек
My
ˆ
∈
, нет точек, обладающих свойством
)()( xHyH
ii
≥ , i = 1, 2, …, n, Mx
ˆ
∈ ,
ибо для любого Mx
ˆ
∈ существует )(
ˆ
ˆ
xM
M
π∈ξ∈ξ , такое, что )()( xHH
ii
≥
ξ
, i = 1, 2, …, n.
Рис. 3.7. Случай 2
Кроме того, для любого Mx
ˆ
∈ и всех My
ˆ
∈ неравенство )()( xHyH
ii
> выполняется хотя бы для одного i.
Мы установили, что Парето-оптимальными могут быть только векторы выигрышей на множестве
М. Покажем, что все
векторы этого множества являются таковыми.
Пусть
x, My
ˆ
∈ , y
x
≠ . Отрезок с концами М
1
и М
2
. Имеем
),(),(),(),(),(
212121
MxxMMyyMMM
ρ
+
ρ
=
ρ
+
ρ
=
ρ
,
но так как y
x
≠ , то
),(),(
11
xMyM
ρ
<
ρ
либо ),(),(
22
xMyM
ρ
<
ρ
.
Поэтому
)()(
0
xPyH ∈
.
Пусть утверждение справедливо для
r = k – 1. Рассмотрим луч
x
z с началом в точке х, проходящий через у, если r = k.
Тогда существует точка
x
Zz ∈ , такая, что
),(max),(
ˆ
zxzx
x
ZMz
ρ=ρ
∩∈
.
Очевидно, что
z
лежит на границе
M
ˆ
, т.е. принадлежит (k – 1)-мерной грани k-мерного многогранника
M
ˆ
. По индук-
ции
)()(
0
xPzH ∈ . Тогда по определению Парето-оптимального множества существует хотя бы одно i
0
, для которого
)()(
00
xHzH
ii
>
, или, что то же,
),(),(
00
ii
MxMz ρ<ρ
.
Учитывая, что
zxy )1( λ
−
+λ=ω∈
λ
, ]1,0[∈λ , имеем неравенство
,),(),()1(),(),()1(
),(,)1((),(
0000
000
iiii
iii
MxMxMxMz
MxMzxMy
ρ=ρλ−+ρλ<ρλ−+
+ρλ≤λ−+λρ=ρ
т.e.
),(),(
00
ii
MxMy ρ<ρ
.
Поменяв местами
х и у, аналогично получим, что )()(
0
xPxH ∈ .
Таким образом, для всех
MMy
xC
tT
ˆˆ
)(
0
0
−
π≡∈ и только для них )()(
0
xPyH ∈ . Следовательно, множество )(
0
xP имеет
вид
}
ˆˆ
|)({)(
)(
0
0
0
MMxxHxP
xC
tT
≡π∈=
−
.
3. Пусть точки
М
i
, i = 1, 2, …, n, расположены таким образом, что )(
ˆ
0
0
xCM
tT −
⊃ (рис. 3.8). Тогда
)}(
ˆ
|)({)(
0
)(
0
0
0
0
xCMxxHxP
tT
xC
tT
−
=π∈=
−
(в этом случае все целевые точки недостижимы, но цели экспертов сильно отличаются друг от друга).
Доказательство этого факта следует из предыдущего случая, если множества
M
ˆ
и )(
0
0
xC
tT −
поменять местами.
4. Рассмотрим общий случай расположения точек
М
i
, i = 1, 2, …, n относительно множества )(
0
0
xC
tT −
(рис. 3.9).
С
T
–
t
0
(x
0
)
М
1
М
2
М
3
М
4
M
= P(x
0
)
^

Страницы