Специальные разделы теории управления. Оптимальное управление динамическими системами - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

1 Всякая часть оптимальной траектории (оптимального управления) также в свою очередь являет-
ся оптимальной траекторией (оптимальным управлением). Это свойство математически формулируется
следующим образом.
Пусть u
*
(t), t
0
≤ t ≤ t
1
– оптимальное управление для выбранного функционала J[u], соответствую-
щее переходу из состояния
),(
00
xt
в состояние ),(
11
xt по оптимальной траектории x
*
(t). Числа
10
, tt и век-
тор
0
x – фиксированные, а вектор
1
x , вообще говоря, свободен. На оптимальной траектории x
*
(t)
выбираются точки )(
0
*
τx и )(
1
*
τx , соответствующие моментам времени
10
, τ=
τ
=
tt , где
1100
tt
≤
τ
≤
τ
≤
. То-
гда управление u*(t) на отрезке ],[
10
ττ является оптимальным, соответствующим переходу из состояния
)(
0
*
τx в состояние )(
1
*
τx , а дуга )](),([
1
*
0
*
ττ xx является оптимальной траекторией S.
Таким образом, если начальное состояние системы есть
)(
0
*
τx
и начальный момент времени
0
τ
=
t ,
то независимо от того, каким образом пришла система к этому состоянию, ее оптимальным последую-
щим движением будет дуга траектории x
*
(t),
10
τ
≤
≤
τ
t , являющейся частью оптимальной траектории
между точками ),(
00
xt и ),(
11
xt . Это условие является необходимым и достаточным свойством опти-
мальности процесса и служит основой динамического программирования.
Примечание. Приведенная краткая формулировка основного свойства оптимальных траекторий
не должна толковаться слишком широко. Требование, чтобы начальная и конечная точки траекторий
сравнения лежали на оптимальной траектории в те же моменты времени
10
, τ
τ
, что и точки оптимальной
траектории, или чтобы свободный правый конец
1
x
′
траектории сравнения оканчивался в тот же момент
1
t , что и конец оптимальной траектории, являются существенными. Без их выполнения это свойство,
вообще говоря, не имеет места. Так, если заданы только начальная точка )(
00
txx
=
и моменты времени
0
t
и
0
τ , а )(
0
τx свободен, то отрезок траектории x
*
(t),
00
τ
≤
≤
tt может и не быть оптимальным. В этом слу-
чае оптимальным может быть, вообще говоря, другой отрезок )(tx
′
(рис. 5).
Рис. 5 Основное свойство оптимальных траекторий:
)3,2,1(,;
1122
=
′
>
′
iJJJJ
– значения функционала на участках оптимальной траектории и на траекториях
сравнения, соответственно
2 Автономные системы инвариантны относительно сдвига вдоль оси t. Это означает, что если u
*
(t),
10
ttt ≤≤ совершает переход
10
xx → и сообщает функционалу J[u] значение J
*
, то при любом действи-
x
n
x
*
(τ
0
)
x
*
(τ
1
)
x
*
(t) – оптимальная
траектория на [t
0
, t
1
]
x'(t) – траектория срав-
нения на [τ
0
, τ
1
]
0
0
J
1
J'
1
J'
2
J
2
x'(τ
0
)
x'(t)
x(t
0
) = x
0
J'
3
J
3
x
2
x
1
1
x'(t
1
)
11
**
1
)( xtxx ==

Страницы