Специальные разделы теории управления. Оптимальное управление динамическими системами - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

∂
∂
−=
∂
∂
−=
=
∂
∂
=
,
~
~
~
;
~
λ
x
f
x
λ
f
λ
x
T
T
T
H
H
&
&
(22)
где xffλ ∂∂=
~
,
~
T
H – матрица Якоби, )...,,,(
~
10 n
xxx=x , )...,,,(
~
10 n
fff=f ;
1
~
+
∈
n
X
x – называется канонической
системой дифференциальных уравнений, связанной с основной задачей.
4.3 Принцип максимума Л.С. Понтрягина
Пусть ],[,))(...,),(()(
10
**
1
*
ttttutut
T
m
∈=u – такое допустимое управление, а
T
r
aaa )...,,,(
**
2
*
1
*
=a – такое до-
пустимое значение вектора параметров, что соответствующая им траектория x
*
(t) системы (11) удовле-
творяет условиям (12) для концов.
Для оптимальности (в смысле минимума) критерия качества (13) управления u
*
(t), траектории x
*
(t)
и вектора управляющих параметров а
*
необходимо существование такого ненулевого переменного век-
тора 0const)(,))(...,),(),(()(
010
≥=λλλλ= ttttt
T
n
λ (обычно можно принимать 1
0
=
λ
, см. следствие 2, п. 4.4) и
такого постоянного вектора
T
l
)...,,,(
21
µµµ=µ , что выполняются следующие условия.
1 Вектор-функции x
*
(t), u
*
(t), )(tλ и вектор a
*
удовлетворяют системе
=
∂
∂
−=
λ
λ∂
∂
=
.),0(
)),(),(),(,(
;
)),(),(),(,(
***
***
*
1
ni
x
ttttH
dt
d
ttttH
dt
dx
i
i
i
aλux
aλux
(23)
2 Функция )),(,),(,(
**
aλx tuttH переменного
m
U∈u при каждом ],[
10
ttt
∈
, т.е. при фиксированных x
*
и λ и при фиксированном векторе а
*
достигает при u = u
*
(t) минимума):
.)),(,),(,(min
)),(),(,()),(),(),(,(
**
******
aλux
aλxaλux
u
tttH
tttHttttH
m
U∈
=
==
(24)
Случай максимума функционала J[u, a] сводится к задаче в данной постановке путем рассмотрения
функционала ],[],[
1
auau JJ −= .
Замечание. В отличие от классической формулировки принципа максимума Л.С. Понтрягина в
данном случае операция max в (24) заменена на min. В соответствии с такой заменой необходимое ус-
ловие (24) можно было бы назвать принципом минимума. Следует обратить внимание, что в данном
случае 0
0
≥λ , тогда как в классической формулировке 0
0
≤
λ
.
Таким образом, оптимальное управление определяется как

Страницы