Специальные разделы теории управления. Оптимальное управление динамическими системами - 72 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Необходимо найти кривую из указанного класса траекторий, которая минимизирует функционал
∫
+Φ=
1
0
),,,(),,,,(
1100
t
t
dttfttJ axxaxx
&
. (120)
Задача Майера. Эта задача формально получается из задачи Больца при ),1(0,0 ρ=≡≡ kff
k
. В этом
случае краевые условия (119) становятся общими граничными условиями, число которых должно быть
22 ++=ρ rn . Если фиксирован вектор параметров а, то число степеней свободы σ системы дифференци-
альных уравнений (118), равное разности между числом зависимых переменных и числом независимых
дифференциальных уравнений, для задачи Майера равно: mn
−
=
σ
.
Задача Лагранжа. Эта задача вытекает из задачи Больца при ρ=≡≡Φ ,1,0,0 kf
k
.
Виды связей и граничных условий. Связи вида (119) при )(a
kk
Φ
=
Φ
, т.е. при
∫
Φ−=
t
t
t
kk
dttf
0
)(),,,( aaxx
&
,
где все или часть компонент вектора а фиксирована, называются изопериметрическими. Если 0
≡
k
f , то
связи типа (119) задают подвижные граничные условия. Если связи типа (119) имеют вид
,,0
);,1(0)(
);,1(0)(
1012200012
211
100
222
111
tttt
nkxtx
nkxtx
nn
kkk
kkk
−≡Φ=−≡Φ
==−≡Φ
==−≡Φ
++
где
100
...,,
1
tx
k
– заданные числа, то граничные условия называются закрепленными.
Если 0;0;,1;,1
101000
1
21
=−=−<== ttttnnknk , то
1
n концов закреплено, а остальные условия называют-
ся свободными граничными условиями.
Если граничные условия 0),,,(
1010
=
Φ xxtt
k
при
),1,0( ρ== kf
k
можно разбить на две группы
0),(
00
1
=Φ xt
k
;
0),(
11
2
=Φ xt
k
; nkk <ρρ+ρ=ρ=
11211
,...,,1,,1 и если ),(),(
0011
xx thtq
−
≡
Φ
, то задача называется
задачей с разделенными условиями для концов.
Общие условия (119) называются смешанными граничными условиями.
9.2 Первое необходимое условие экстремума функционала
в задаче Больца
Первое необходимое условие экстремума состоит из:
• правила множителей Лагранжа;
• уравнений Эйлера–Лагранжа;
• условий Эрдмана–Вейерштрасса;
• условий трансверсальности.
Пусть минимизирующая кривая С: {x = x(t), a} допускает в любой точке слабые (малые как по x(t),
так и по )(tx
&
) вариации )(
~
)()(),(
~
)()( tttttt xxxxxx
&
&&
−=δ−=δ по любым совместимым со связями (118) направ-
лениям в пространстве
nn
XX ∈x, и функции
kk
ff
Φ
Φ
,,, обладают непрерывными производными до
третьего порядка. Тогда необходимые условия экстремума формулируются следующим образом.

Страницы