Специальные разделы теории управления. Оптимальное управление динамическими системами - 73 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Правило множителей Лагранжа: существуют функции µ
0
, µ
k
,
)(t
j
λ
и функции
∑∑
ρ
==
++=
11
0
),,,()(
k
m
j
jjkk
tFtffF axxλµµ
&
; (121)
∑
ρ
=
Φ+Φ=
1
110011000
)),(,),(,()),(,),(,(
k
kk
ttttttttL axxµaxxµ (122)
такие, что множители
k
µµ ,0
0
≥ – постоянные и решение исходной задачи на условный экстремум лежит
среди решений задачи на безусловный экстремум для вспомогательного функционала
∫
+=
1
0
t
t
FdtLJ .
Всегда можно считать 1
0
=
µ , за исключением особых (анормальных) случаев.
Уравнения Эйлера–Лагранжа. Между угловыми точками (см. 126) минимизирующей кривой: C: {x
= x(t), a} выполняются уравнения
Эйлера–Лагранжа:
t
n
i
xi
FFxF
dt
d
i
=
−
∑
=1
&
&
; (123)
),1(0 niF
dt
d
F
ii
xx
==−
&
, (124)
где
t
F
F
x
F
F
x
F
F
t
i
x
i
x
ii
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
= ;;
&
&
.
Замечание. Уравнение (123) является следствием остальных (при условии, что все )(tx
i
облада-
ют вторыми производными) и для функций F, не содержащих явно t, приводит к первому интегралу.
CFxF
n
i
xi
i
=−
∑
=1
&
&
(125)
в силу (127), (128), непрерывному при переходе через угловую точку.
Решения x(t) уравнения Эйлера–Лагранжа называются экстремалями независимо от того, являются
ли они минимизирующими, максимизирующими или седловыми кривыми для функционала J со связя-
ми (118), (119).
Условия Эрдмана–Вейерштрасса. Величины
∑
=
−
n
i
xi
i
FxF
1
&
&
и
),1( niF
i
x
=
&
непрерывны вдоль кривой С:
{x = x(t), a}. В частности, если при
tt
′
= кривая С имеет угловую точку, т.е. хотя бы по одной компонен-
те
)(tx
i
имеет место разрыв (первого рода) в производной:

Страницы