ВУЗ:
Составители:
Методы теории оптимальных процессов (ТОП) можно условно разделить на прямые и непрямые
(косвенные).
Непрямые методы сводят задачу оптимизации динамических характеристик системы, которые яв-
ляются функционалами, к решению известных математических проблем.
К непрямым методам относятся:
1 Принцип максимума Л.С. Понтрягина [1, 2] и метод множителей Лагранжа классического вариа-
ционного исчисления [24 – 27]. Принцип максимума сводит решение задачи оптимизации функциона-
лов к решению известных задач – максимизации или минимизации некоторой специальной функции
конечного числа переменных в сочетании с решением краевой задачи для системы обыкновенных диф-
ференциальных уравнений (ОДУ) первого порядка. В классическом вариационном исчислении (ВИ) за-
дача оптимизации функционала сводится к решению краевой задачи для системы ОДУ. Принцип мак-
симума особенно удобен для решения оптимизационных задач, так как позволяет наиболее простым об-
разом учесть различного рода ограничения на величины управляющих и фазовых переменных (пере-
менных состояния). Классическое вариационное исчисление более удобно в задачах, описываемых ОДУ
более общего вида (в частности, не разрешенных относительно производных) и не содержащих ограни-
чений в виде неравенств на управляющие и фазовые переменные.
2 Принцип оптимальности, положенный в основу динамического программирования Р. Беллмана
[19] и метод Гамильтона-Якоби классического вариационного исчисления [25 – 27]. В этих методах за-
дача оптимизации функционала сводится к решению системы нелинейных ДУ в частных производных
первого порядка с соответствующими граничными условием.
3 Некоторые методы, основание на использование результатов функционального анализа (метод
моментов и т.д.).
Прямые методы ТОП сводят задачу оптимизации функционала к построению минимизирующей
(или максимизирующей) последовательности, на основании которой с помощью предельного перехода
может быть получено точное решение задачи (В.Ф. Кротов, В.И. Гурман
[7, 8]). К прямым методам относятся методы, основанные на сведении задач оптимизации функциона-
лов к задачам на условный экстремум функций конечного числа переменных, различные варианты гра-
диентных методов (Э. Полак, Б.Т. Поляк [21 – 23]), методы типа Ритца-Галеркина и др.
Как в случае применения непрямых методов, так и в случаях использования прямых методов окон-
чательное решение задачи оптимизации может отыскиваться либо в аналитической (замкнутой) форме,
либо в числовой форме.
Решения в квадратурах (за исключением редких случаев, таких как линейные системы с квадрат-
ным критерием качества) могут быть найдены лишь для задач в упрощенной постановке.
С их помощью можно исследовать качественные особенности оптимального управления. Если ана-
литическое решение не слишком громоздко, из него можно получить необходимые технико-
экономические выводы. Поскольку решение такого рода не зависит от конкретных числовых значений
параметров системы и граничных условий, они обладают высокой степенью универсальности. Однако в
задачах, постановка которых приближается к реальным технико-экономическим ситуациям, получение
решений в замкнутой форме, как правило, либо невозможно, либо приводит к весьма сложным выраже-
ниям. В этом случае следует обратиться к численным методам решения.
Численные методы на современном этапе развития вычислительной математики обладают общно-
стью, сравнимой с общностью аналитических методов. Хотя при их использовании возникают
определенные проблемы, связанные с оценками скорости сходимости, устойчивости, ошибками
округлений, ограниченной разрядностью и т.д.
1.3 Необходимые условия оптимальности управления,
достаточные условия оптимальности и проблема
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- …
- следующая ›
- последняя »
