ВУЗ:
Составители:
существования оптимального управления
Рассмотренные в данном пособии необходимые условия оптимальности управления для различного
типа задач оптимизации получены на основе использования аналитических непрямых методов оптими-
зации и образуют совокупность функциональных соотношений, которым обязательно должно удовле-
творять экстремальное решение.
При выводе их сделано существенное для последующего применения предположение о существо-
вании оптимального управления (оптимального решения). Другими словами, если оптимальное решение
существует, то оно обязательно удовлетворяет приведенным (необходимым) условиям. Однако этим же
необходимым условиям могут удовлетворять и другие решения, не являющиеся оптимальными (подоб-
но тому, как необходимому условию
0=
dx
df
для минимума функции одной переменной удовлетворяют,
например, точки максимума и точки перегиба функции f (x)). Поэтому, если найденное решение удовле-
творяет необходимым условиям оптимальности, то это еще не означает, что оно является оптимальным.
Использование одних только необходимых условий дает возможность в принципе найти все реше-
ния, им удовлетворяющие, и отобрать затем среди них те, которые действительно являются оптималь-
ными. Однако практически найти все решения, удовлетворяющие необходимым условиям, чаще всего
не представляется возможным в силу большой трудоемкости такого процесса. Поэтому после того как
найдено какое-либо решение, удовлетворяющее необходимым условиям, целесообразно проверить, яв-
ляется ли оно действительно оптимальным в смысле исходной постановки задачи.
Аналитические условия, выполнимость которых на полученном решении гарантирует его опти-
мальность, называются достаточными условиями. Формулировка этих условий и особенно их практи-
ческая (например, вычислительная) проверка часто оказывается весьма трудоемкой задачей.
В общем случае применение необходимых условий оптимальности было бы более обоснованным,
если бы для рассматриваемой задачи можно было установить факт существования или существования и
единственности оптимального управления. Этот вопрос является математически весьма сложным.
Проблема существования, единственность оптимального управления состоит из двух вопросов.
1 Существование допустимого управления (т.е. управления, принадлежащего заданному классу
функций), удовлетворяющего заданным ограничениям и переводящего систему из заданного начально-
го состояния в заданное конечное состояние. Иногда граничные условия задачи выбраны так, что систе-
ма – в силу ограниченности ее энергетических (финансовых, информационных) ресурсов – не в состоя-
нии их удовлетворить. В этом случае не существует решения задачи оптимизации.
2 Существование в классе допустимых управлений оптимального управления и его единствен-
ность.
Эти вопросы в случае нелинейных систем общего вида не решены еще с достаточной для приложе-
ний полнотой. Проблема осложняется также тем обстоятельством, что из единственности оптимального
управления не следует единственность управления, удовлетворяющего необходимым условиям. К тому
же, обычно удовлетворяется какое-либо одно, наиболее важное необходимое условие (чаще всего –
принцип максимума).
Проверка дальнейших необходимых условий бывает достаточно громоздкой. Это показывает важ-
ность любой информации о единственности управлений, удовлетворяющих необходимым условиям оп-
тимальности, а также о конкретных свойствах таких управлений.
Необходимо предостеречь от заключений о существовании оптимального управления на основании
того факта, что решается «физичная» задача. На самом деле, при применении методов теории ОП при-
ходится иметь дело с математической моделью. Необходимым условием адекватности описания физи-
ческого процесса ММ как раз и является существование решения для математической модели. Посколь-
ку при формировании математической модели вводятся различного рода упрощения, влияние которых
на существование решений трудно предсказать, доказательство существования является отдельной ма-
тематической проблемой.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- …
- следующая ›
- последняя »
