Специальные разделы теории управления. Оптимальное управление динамическими системами. Громов Ю.Ю - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

более необходимым в этой точке. При этом возможны три случая:
а) множество
m
U описывается системой связей в виде равенств
)...,,2,1(0)...,,,(
21
msuuu
mS
<ν=
=
χ
; (36)
тогда минимум H при условиях (36) находится методом неопределенных множителей Лагранжа;
б) множество
m
U задано системой неравенств
...),3,2,1(0)...,,,(
121
1
=≤ℵ suuu
ms
; (37)
тогда задача сводится на каждом шаге интегрирования к проблеме нелинейного программирования;
в) множество
m
U является ограниченной областью, не имеющей границ (например, замкнутой двумерной поверхно-
стью типа сферы или эллипсоида в трехмерном пространстве). Для всякой непрерывной функции H(
u), имеющей непрерыв-
ные частные производные, заданной на замкнутой поверхности и выраженной через параметрические координаты этой по-
верхности, точка максимума H по этим параметрическим координатам принадлежит к числу решений (35), где роль
j
u
иг-
рают параметрические координаты поверхности.
Пример. Пусть
),,(
321
uuuH задана на сфере. Тогда замена
ϕ
θ
=
cossin
1
ru , ϕθ
=
sinsin
2
ru ,
θ
= cos
3
ru приводит к
),,(
~
),,(
321
rHuuuH ϕθ= – периодической функции с периодом
π
2 по θ и
ϕ
и в точке минимума
H
H
=
~
имеют место
равенства
0
~
~
=
∂ϕ
∂
=
∂θ
∂
HH
.
4. Условия (35) определяют лишь внутреннюю стационарную точку функции H. Если u
*
= u удовлетворяет системе
(35) и доставляет минимум функции H(
u), то должны быть выполнены необходимые условия второго порядка: матрица ча-
стных производных второго порядка функции H(u)
),1,(
2
mji
uu
H
H
ji
=
∂∂
∂
=
uu
(38)
должна быть неотрицательно определенной в точке
u
*
минимума функции H(u).
Положительная определенность матрицы Н
uu
при выполнении условий (35) в точке u
*
является достаточным условием
для относительного (но не абсолютного!) минимума H(
u) в этой точке. Условие (38) неотрицательной определенности мат-
рицы Н
uu
представляет собой условия Лежандра-Клебша классического вариационного исчисления [25 – 27].
Проверка положительной определенности матрицы Н
uu
может проводиться по критерию Сильвестра: для положитель-
ной определенности матрицы Н
uu
необходимо и достаточно, чтобы ее угловые миноры были положительными. В частности,
для положительно определенной матрицы Н
uu
выполняется условие
0det
2
>
∂∂
∂
u*
ji
uu
H
, (39)
являющееся аналогом условия Гильберта неособенности (невырожденности) вариационной задачи (см. п. 9.4).
5. Приведенная формулировка принципа максимума остается справедливой и для случая, когда область
m
U зависит
явным образом от времени t:
)(tUU
mm
= .
Замечание. Принцип максимума является, вообще говоря, лишь необходимым условием. Любое допустимое опти-
мальное управление, если оно существует, удовлетворяет принципу максимума. Однако не всякое допустимое управление,
удовлетворяющее принципу максимума, является оптимальным. Поэтому после определения управления на основе необхо-
димых условий следует убедиться в его оптимальности. Для этого служат достаточные условия оптимальности.
В некоторых случаях принцип максимума является не только необходимым, но и достаточным условием оптимально-
сти управления
u(t). Пусть, например, найдено допустимое управление u
*
(t), которое переводит заданное начальное состоя-
ние
00
)( xx =t линейной относительно фазовых координат системы
m
UttA ∈+= uuhxx ),,()(
&
, (40)
где
m
U – замкнутое ограниченное множество; A(t), h(u, t) – непрерывные функции t, u; ),...,,(
21 n
xxx
=
x , )...,,,(
21 m
uuu
=
u
в заданное конечное состояние
11
)( xx =t . Введем такую систему начальных значений сопряженных переменных

Страницы