ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
где
ρ
δδδδδ atxtxtt
ii
),(),(,,
1010
– произвольные вариации концевых точек и параметров.
Обобщенные условия трансверсальности (26) с учетом выражения (27) приводят в силу независимости δt
0
, δt
1
, δt
i
(t
0
),
δt
i
(t
1
), δa
ρ
к следующим 2n + 2 + r соотношениям:
0
0
0
0
=δ
∂
∂
+− t
t
L
H
t
; (28)
0
1
1
1
=δ
∂
∂
+ t
t
L
H
t
; (29)
),1(0)(
0
0
nitx
x
L
i
t
i
i
==δ
∂
∂
+λ
; (30)
),1(0)(
1
1
nitx
x
L
i
t
i
i
==δ
∂
∂
+λ−
; (31)
),1(0
1
0
radt
a
H
a
L
t
t
=ρ=δ
∂
∂
+
∂
∂
ρ
ρρ
∫
. (32)
Если какое-либо конечное условие
)(),(
10
txtx
ii
или параметр
ρ
a закреплены (не варьируются), то соответствующая
вариация равна нулю:
)),(),(,,(0
1010 ρ
==δ atxtxttzz
ii
. Если какое-либо конечное условие )(
0
tx
i
, )(
1
tx
i
или управляющий
параметр
ρ
a свободны, то равен нулю коэффициент при свободной вариации z
δ
в (30) – (32).
Таким образом, совокупность условий, выражающих принцип максимума (23), (25), условий трансверсальности (26),
дают необходимые условия оптимальности программного управления.
Условия принципа максимума позволяют среди множества всех траекторий и управлений, переводящих систему из
),(
00
xt в ),(
11
xt , выделить те отдельные, вообще говоря, изолированные траектории и управления, которые могут быть оп-
тимальными.
В формулировке принципа максимума участвует 2n + 2 + m + 1 неизвестных функций
)(...,),(),(:)(...,),(),(
1010
ttttxtxtx
nn
λ
λλ ; )(...,),(
1
tutu
m
, для определения которых имеется (n + 1) дифференциальных
уравнений физической системы (11), (20), (n + 1) дифференциальных уравнений сопряженной системы (18) и m конечных
соотношений для
j
u , вытекающих из (24).
Следовательно, для (2n + 2 + m) неизвестных функций имеется (2n + 2 + m) соотношений. Если известны все начальные
условия
λλλλ==
Φ==
T
n
T
n
ttttt
txtxtxt
))(...,),(),(),(()(
;))(...,),(),(,()(
~~
002010000
0020100
λλ
xx
(33)
и фиксированное значение управляющего параметра а, то система (23) может быть проинтегрирована. Однако начальный и
конечный моменты времени t
0
, t
1
, начальное и конечное значения вектора фазовых координат
)...,,(),...,,(
11110100 nn
xxxx == xx , начальное и конечное значения вектора сопряженных переменных )...,,,1(
0100 n
λ
λ
=
λ ,
)...,,,1(
1111 n
λλ=λ , постоянный вектор )...,,,(
21 l
µ
µµ=µ и вектор управляющих параметров )...,,,(
21 r
aaa=a для опти-
мального решения заранее неизвестны. Они могут быть определены из условий трансверсальности (28) – (32) и граничных
условий (12). В самом деле, для определения (2 + 4n + l + r) неизвестных
aµλλxx ,,,,,,,
101010
tt имеется два условия (28),
(29), 2n условий (30), (31), r условий (32) и l условий (12); кроме того, 2n соотношений вида
),,,()(
001011
xλx ttt
ϕ
= ,
),,,()(
001021
xλλ ttt ϕ= будут получены в результате интегрирования системы (23). Таким образом, для полученной крае-
вой задачи имеется достаточное число соотношений, позволяющих считать ее, по крайней мере, теоретически разрешимой.
Необходимо также отметить, что принцип максимума дает глобальный минимум. Численные методы решения краевых задач
приведены в [20, 23].
4.4. Некоторые следствия принципа максимума
1. Непосредственным следствием системы (23) и условия (24) является выполнение между точками разрыва функции
u(t) соотношения
t
H
dt
dH
∂
∂
= . (34)
Это условие для автономных систем (т.е. систем, не зависящих явно от t) приводит к первому интегралу: H = const вдоль
всей оптимальной траектории, хотя в общем случае условие (34) неверно, условия скачка обоснованы и получены.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 20
- 21
- 22
- 23
- 24
- …
- следующая ›
- последняя »
