Специальные разделы теории управления. Оптимальное управление динамическими системами. Громов Ю.Ю - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

ция u(t) считается допустимой, если она кусочно-непрерывна и ее значения принадлежат множеству
mm
UtU ∈)(: u , т.е. та-
кие управления u
i
(t), каждое из которых непрерывно для всех рассматриваемых t, за исключением лишь конечного числа
моментов времени, где функция u
i
(t) может терпеть разрывы первого рода. Во избежание недоразумений отметим, что, по
определению разрывов первого рода, в точке разрыва τ предполагается существование конечных пределов:
)(lim)0(),(lim)0( tuutuu
t
t
t
t
τ>
τ→
τ<
τ→
=
+
τ
=
−τ .
4.2. Некоторые вспомогательные построения и терминология
Вводятся:
•
зависящий от времени вектор сопряженных координат (вектор-функция множителей Лагранжа)
T
n
tttt ))(...,),(),(()(
10
λλλ=λ ; (14)
• постоянный вектор µ :
T
l
)...,,,(
21
µµµ=µ ; (15)
• вспомогательные функции (гамильтониан задачи оптимизации и функция Лагранжа)
),,,(),,,(),,,,(
00
1
auxauxaλux tftftH
n
i
ii
λ+λ=
∑
=
(16)
и
∑
=
Φλ+µ=
l
j
jj
ttttgttL
1
1010010101010
),,,,(),,,,(),,,,,( axxaxxµaxx
; (17)
•
система дифференциальных уравнений, сопряженная к (11) (13) и определяющая изменение вектора )(t
λ
,
),0(
),,,(
0
ni
x
tf
x
H
dt
d
i
k
n
k
k
i
i
=
∂
∂
λ−=
∂
∂
−=
λ
∑
=
aux
. (18)
Замечание. Система линейных дифференциальных уравнений yy )(tB
=
&
называется сопряженной для системы x
&
=
A(t)x + f(t), если
)()( tAtB
T
−= и размерность векторов x и y (а также матриц B(t) и A(t)) одинаковы. Таким образом, система
(18) является фактически сопряженной к линеаризованной системе (11), (20):
)(
)(),()(),((
t
tutxtutx
u
u
f
x
x
f
x δ
∂
∂
+δ
∂
∂
=δ
))))
&
,
где )(
ˆ
),(
ˆ
tt ux – некоторая опорная траектория и опорное управление, соответственно.
С помощью функции H исходная система уравнений (1) записывается в виде
),0(),,,( nitf
H
dt
dx
i
i
i
==
∂λ
∂
= aux . (19)
Индексу i = 0 соответствует новая переменная
)(
0
tx , определяемая скалярным уравнением
),,,(
0
0
auxtf
dt
dx
= , (20)
с начальным условием
),,,,()(
10100000
axxttxtx
Φ
=
=
. (21)
Система уравнений
∂
∂
−=
∂
∂
−=
=
∂
∂
=
,
~
~
~
;
~
λ
x
f
x
λ
f
λ
x
T
T
T
H
H
&
&
(22)
где xffλ ∂∂=
~
,
~
T
H – матрица Якоби, )...,,,(
~
10 n
xxx=x , )...,,,(
~
10 n
fff=f ;
1
~
+
∈
n
X
x , называется канонической системой
дифференциальных уравнений, связанной с основной задачей.
4.3. Принцип максимума Л.С. Понтрягина
Пусть ],[,))(...,),(()(
10
**
1
*
ttttutut
T
m
∈=u – такое допустимое управление, а
T
r
aaa )...,,,(
**
2
*
1
*
=a – такое допустимое
значение вектора параметров, что соответствующая им траектория x
*
(t) системы (11) удовлетворяет условиям (12) для кон-
цов.
Для оптимальности (в смысле минимума) критерия качества (13) управления u
*
(t), траектории x
*
(t) и вектора управ-

Страницы