ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
ляющих параметров а
*
необходимо существование такого ненулевого переменного вектора
0const)(,))(...,),(),(()(
010
≥=λλλλ= ttttt
T
n
λ
(обычно можно принимать 1
0
=
λ
, см. следствие 2, п. 4.4) и такого постоян-
ного вектора
T
l
)...,,,(
21
µµµ=µ , что выполняются следующие условия.
1. Вектор-функции x
*
(t), u
*
(t), )(tλ и вектор a
*
удовлетворяют системе
=
∂
∂
−=
λ
λ∂
∂
=
.),0(
)),(),(),(,(
;
)),(),(),(,(
***
***
*
1
ni
x
ttttH
dt
d
ttttH
dt
dx
i
i
i
aλux
aλux
(23)
2. Функция
)),(,),(,(
**
aλx tuttH переменного
m
U∈u при каждом ],[
10
ttt
∈
, т.е. при фиксированных x
*
и λ и при
фиксированном векторе а
*
достигает при u = u
*
(t) минимума):
.)),(,),(,(min
)),(),(,()),(),(),(,(
**
******
aλux
aλxaλux
u
tttH
tttHttttH
m
U∈
=
==
(24)
Случай максимума функционала J[u, a] сводится к задаче в данной постановке путем рассмотрения функционала
],[],[
1
auau JJ −= .
Замечание. В отличие от классической формулировки принципа максимума Л.С. Понтрягина в данном случае опе-
рация max в (24) заменена на min. В соответствии с такой заменой необходимое условие (24) можно было бы назвать прин-
ципом минимума. Следует обратить внимание, что в данном случае
0
0
≥
λ
, тогда как в классической формулировке 0
0
≤
λ
.
Таким образом, оптимальное управление определяется как
)),(,),(,(minarg)),(),(,()(
******
aλuxaλxuu
u
tttHtttt
m
U∈
==
. (25)
Принцип максимума, следовательно, утверждает, что оптимальное управление u
*
(t) в каждый момент времени t мини-
мизирует проекцию фазовой скорости
),,(
~
~
uxfx t=
&
управляемого процесса (т.е. проекцию скорости изображающей точки
1
~
~
+
∈
n
X
x
) на направление, задаваемое вектором )(tλ ; напомним, что
),,,(
~
~
0
auxfλxλ tfH
T
n
i
T
ii
==λ=
∑
=
&
–
скалярное произведение векторов )(tλ и x
&
~
.
3. Сопряженные переменные
)(t
i
λ и функция
)),(),(),(,(
***
aλux ttttH
непрерывны вдоль оптимальной траектории
(аналог условия Эрдмана-Вейерштрасса классического вариационного исчисления).
4. Условия трансверсальности. Для концевых точек ),(
00
xt , ),(
11
xt и вектора параметров а
*
при произвольных вариа-
циях концевых точек и параметров выполняются обобщенные условия трансверсальности
0
10
1
0
1
0
=δ
∂
∂
++
δλ−δ
ρ
=ρ
ρ
=
∑
∫
∑
dta
a
H
dLxtH
r
t
t
t
t
n
i
ii
. (26)
Здесь dL – полная вариация функции ),,,,,(
1010
aµxxttL , определяемой уравнением (17):
)27(,)(
)(
)(
)(
1
1
0
1
0
0
0
1
1
0
0
ρ
=ρ
ρ
=
=
δ
∂
∂
+δ
∂
∂
+
+δ
∂
∂
+δ
∂
∂
+δ
∂
∂
=
∑∑
∑
a
a
L
tx
tx
L
tx
tx
L
t
t
L
t
t
L
dL
r
i
n
i
i
i
n
i
i
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 19
- 20
- 21
- 22
- 23
- …
- следующая ›
- последняя »
