Математические уравнения в геофизике. Груздев В.Н. - 24 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

24
AB
A
xx
xx
=
AB
A
yy
yy
=
AB
A
zz
zz
. ɉɨɞɫɬɚɜɢɦ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɵ ɬɨɱɟɤ Ⱥ ɢ ȼ ɢ ɫɨɫɬɚɜɢɦ
ɞɜɟ ɩɚɪɵ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ:
16
1
x
=
21
2
y
=
31
3
z
ɢ –x + 1 = 5y – 10, y = –1/5x +
+ 11/5, dy = –1/5dx, –2x + 2 = 5z – 15, z = –2/5x +17/5, dz = –2/5dx.
ɉɨɞɫɬɚɜɢɦ ɩɨɥɭɱɟɧɧɵɟ ɞɚɧɧɵɟ ɜ ɢɫɯɨɞɧɨɟ ɜɵɪɚɠɟɧɢɟ ɢ ɩɨɥɭɱɢɦ ɢɫɤɨɦɭɸ
ɪɚɛɨɬɭ:
³
AB
rda
GG
=
³
AB
xydzxzdyyzdx )( =
=
³
dx
x
xxxx
x
))
5
2
)(
5
11
5
()
5
1
()
5
17
5
2
()
5
17
5
2
)(
5
11
5
((
6
1
=
³
6
1
2
)187786(
25
1
dxxx =
6
1
23
)187392(
25
1
xxx
=
25
1
(432 – 1404 +1122 – 2 +
+ 39 – 187) = 0.
Ɂɚɞɚɱɚ 8. ɉɨ ɮɨɪɦɭɥɟ ɋɬɨɤɫɚ ɧɚɣɬɢ ɰɢɪɤɭɥɹɰɢɸ ɜɟɤɬɨɪɚ
kpzjniymxa
p
G
G
G
G
2
ɜɞɨɥɶ ɨɤɪɭɠɧɨɫɬɢ x
2
+ y
2
= R
2
. Ɂɧɚɱɟɧɢɹ m, n, p ɜɡɹɬɶ ɢɡ
ɬɚɛɥɢɰɵ 6 ɫɨɝɥɚɫɧɨ ɜɚɪɢɚɧɬɭ.
ɉɪɢɦɟɪ 8. ɉɨ ɮɨɪɦɭɥɟ ɋɬɨɤɫɚ ɧɚɣɬɢ ɰɢɪɤɭɥɹɰɢɸ ɜɟɤɬɨɪɚ
kzjiyxa
G
G
G
G
32
ɜɞɨɥɶ ɨɤɪɭɠɧɨɫɬɢ x
2
+ y
2
= R
2
.
ɋɨɝɥɚɫɧɨ ɮɨɪɦɭɥɟ ɋɬɨɤɫɚ
³³³
LS
sdarotrda
G
G
G
G
, ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɨ ɧɚɣɬɢ ɩɨɬɨɤ
ɪɨɬɨɪɚ ɜɟɤɬɨɪɚ ɱɟɪɟɡ ɡɚɦɤɧɭɬɭɸ ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɶ S, ɨɝɪɚɧɢɱɟɧɧɭɸ ɡɚɞɚɧɧɨɣ
ɨɤɪɭɠɧɨɫɬɶɸ, ɬ. ɟ.
³³
S
Sdarot
G
G
. Ⱦɥɹ ɷɬɨɝɨ ɜɧɚɱɚɥɟ ɧɚɯɨɞɢɦ arot
G
ɩɨ ɮɨɪɦɭɥɟ:
rot
a
G
=
i
z
a
y
a
y
z
G
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
w
w
w
w
+ j
x
a
z
a
z
x
G
¸
¹
·
¨
©
§
w
w
w
w
+
k
y
a
x
a
x
y
G
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
w
w
w
w
= (0 - 0) i
G
+ (0 - 0) j
G
+ (0 –
3x
2
y
2
)
k
G
. Ⱦɥɹ ɭɞɨɛɫɬɜɚ ɢɧɬɟɝɪɢɪɨɜɚɧɢɹ ɜɜɟɞɟɦ ɰɢɥɢɧɞɪɢɱɟɫɤɢɟ
ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɵ: x = rcos ij, y = rsin ij, dS = rdrd ij.
Ɍɟɩɟɪɶ ɩɪɨɜɨɞɢɦ ɢɧɬɟɝɪɢɪɨɜɚɧɢɟ ɢ ɧɚɯɨɞɢɦ ɩɨɬɨɤ ɪɨɬɨɪɚ, ɤɨɬɨɪɵɣ
ɢ ɛɭɞɟɬ ɪɚɜɟɧ ɰɢɪɤɭɥɹɰɢɢ ɜɟɤɬɨɪɚ
a
G
:
³³
S
Sdarot
G
G
= –3
³³
S
MMM
2
00
522
cossin
R
drrd
=
=
6
3
6
R
³
S
MMM
2
0
22
cossin d
=
46
3
6
R
³
S
MM
2
0
2
2sin d
=
46
3
6
R
³
S
M
M
2
0
2
4cos1
d
=
16
6
R
(
³
S
M
2
0
d
³
S
MM
2
0
)4(4cos
4
1
d ) =
S
MM
2
0
6
))4sin(
4
1
(
16
R
8
6
S
R
.
Ʌɚɛɨɪɚɬɨɪɧɚɹ ɪɚɛɨɬɚ 5 (3 ɱɚɫɚ)
Ɂɚɞɚɧɢɟ 1. Ɉɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɩɚɪɚɦɟɬɪɨɜ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɩɪɹɦɨɣ ɥɢɧɢɢ ɧɚ
ɩɥɨɫɤɨɫɬɢ ɦɟɬɨɞɨɦ ɧɚɢɦɟɧɶɲɢɯ ɤɜɚɞɪɚɬɨɜ.
ȼ ɝɟɨɮɢɡɢɤɟ ɱɚɫɬɨ ɩɪɢɯɨɞɢɬɫɹ ɩɨɥɶɡɨɜɚɬɶɫɹ ɷɦɩɢɪɢɱɟɫɤɢɦɢ
ɮɨɪɦɭɥɚɦɢ, ɫɨɫɬɚɜɥɟɧɧɵɦɢ ɧɚ ɨɫɧɨɜɟ ɧɚɛɥɸɞɟɧɢɹ ɡɚ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɵɦɢ
 x � xA    y � yA   z � zA
         =        =          . ��������� ���������� ����� � � � � ��������
x B �x A   yB�y A   z B �z A
                          x �1   y�2    z �3
��� ���� ���������:            =      =      � –x + 1 = 5y – 10, y = –1/5x +
                         6 �1    1� 2   1� 3
+ 11/5, dy = –1/5dx, –2x + 2 = 5z – 15, z = –2/5x +17/5, dz = –2/5dx.
��������� ���������� ������ � �������� ��������� � ������� �������
          � �
������: � a � dr = � ( yzdx � xzdy � xydz ) =
                 AB       AB
    6
       x 11 2    17      2   17  1       x 11 2
= � ((� � )(� x � ) � x(� x � )(� ) � x(� � )(� ))dx �
  1
       5  5  5    5      5    5  5       5  5  5
             6
    1                              1                                1
=         (6 x 2 � 78 x � 187)dx =    (2 x 3 � 39 x 2 � 187 x) 16 =    (432 – 1404 +1122 – 2 +
    25 �1                          25                               25
 + 39 – 187) = 0.
        ������ 8. � �� ������� ������ ����� ���������� �������
 �            � �                           2   2      2
a � mx 2 y p i � nj � pzk ����� ���������� x + y = R . �������� m, n, p ����� ��
������� 6 �������� ��������.
        ������ � 8. �� ������� ������ ����� ���������� �������
 �          � �                          2    2   2
a � x 2 y 3 i � j � zk ����� ���������� x + y = R .
                                       � �        � �
        �������� ������� ������ � a � dr � �� rota � ds , ���������� ����� �����
                                                  L              S

������ ������� ����� ���������        ����������� S, ������������ ��������
                         � �                                   �
�����������, �. �. �� rota � dS . ��� ����� ������� ������� rota �� �������:
                               S

    �    � �a  �a          � � � �a x �a z   ��           � �a y �a x � �           �           �
rot a = �� z � y           ��i + �    �      �j+          ��    �     ��k = (0 - 0) i + (0 - 0) j + (0 –
         �  �y  �z          �    � �z   �x   �             � �x   �y   �
   2 2 �
3x y ) k . ���    �������� �������������� ������ ��������������
����������: x = rcos �, y = rsin �, dS = rdrd �.
     ������ �������� �������������� � ������� ����� ������, �������
                                                           �          �   �         2�                 R
� ����� ����� ���������� ������� a :                            �� rota � dS =   –3 � sin 2 � cos 2 �d� � r 5 dr =
                                                                S                    0                  0
                 2�                          2�                            2�                               2�
  � 3R 6                            � 3R 6                 � 3R 6               1 � cos 4� � R6
=                �0 sin � cos �d� = 6 � 4
                      2    2
                                             �0 sin 2�d� = 6 � 4
                                                      2
                                                                              �0 2 d� = 16 ( �0 d� –
    6
        2�
    1                     � R6     1                � R 6�
–     � cos 4�d (4� ) ) =      (� � sin(4� )) 02� �        .
    4 0                    16      4                  8

                                   ������������ ������ 5 (3 ����)

     ������� 1. ����������� ���������� ��������� ������ ����� ��
��������� ������� ���������� ���������.
     � ��������� ����� ���������� ������������ �������������
���������, ������������� �� ������ ���������� �� �������������
                                                           24