Математические уравнения в геофизике. Груздев В.Н. - 25 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

25
ɜɟɥɢɱɢɧɚɦɢ. Ɉɞɢɧ ɢɡ ɧɚɢɥɭɱɲɢɯ ɫɩɨɫɨɛɨɜ ɩɨɥɭɱɟɧɢɹ ɬɚɤɢɯ ɮɨɪɦɭɥɷɬɨ
ɦɟɬɨɞ ɧɚɢɦɟɧɶɲɢɯ ɤɜɚɞɪɚɬɨɜ. Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɫɥɭɱɚɣ ɥɢɧɟɣɧɨɣ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɢ
ɦɟɠɞɭ ɞɜɭɦɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚɦɢ ɯ ɢ ɭ. Ɂɚɜɢɫɢɦɨɫɬɶ ɦɟɠɞɭ ɭ ɢ ɯ ɜɵɪɚɠɚɟɬɫɹ
ɮɨɪɦɭɥɨɣ: ɭ = ɚɯ + b, ɝɞɟ ɚ ɢ b ɧɟɤɨɬɨɪɵɟ ɩɨɫɬɨɹɧɧɵɟ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɵ,
ɩɨɞɥɟɠɚɳɢɟ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɸ. ɋɩɨɫɨɛ ɧɚɢɦɟɧɶɲɢɯ ɤɜɚɞɪɚɬɨɜ ɫɨɫɬɨɢɬ ɜ ɬɨɦ,
ɱɬɨ ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɨ ɩɨɞɨɛɪɚɬɶ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɵ ɚ ɢ
b ɬɚɤ, ɱɬɨɛɵ ɫɭɦɦɚ
ɤɜɚɞɪɚɬɨɜ ɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɟɣ ɛɵɥɚ ɛɵ ɜɨɡɦɨɠɧɨ ɦɟɧɶɲɟɣ.
Ɉɛɨɡɧɚɱɢɦ:
n
x
x
n
i
i
¦
1
,
n
y
y
n
i
i
¦
1
,
n
x
x
n
i
i
¦
1
2
_
2
,
n
yx
xy
n
i
ii
¦
1
_
.
Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɫɢɫɬɟɦɭ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ:
°
¯
°
®
_
_
2
xyxaxb
yxab
. Ɋɟɲɢɦ ɞɚɧɧɭɸ
ɫɢɫɬɟɦɭ ɢ ɩɨɥɭɱɢɦ ɪɚɫɱɟɬɧɵɟ ɮɨɪɦɭɥɵ: ɚ =
2
_
2
_
)(xx
yxxy
, b = a
x
y
.
Ɋɚɫɱɟɬɵ ɥɭɱɲɟ ɩɪɨɜɨɞɢɬɶ ɜ ɬɚɛɥɢɰɟ
ʋɩ. ɩ. ɯ
i
y
i
x
i
2
x
i
y
i
1
2
n
¦
n
i 1
x
y
_
2
x
_
xy
Ɂɚɞɚɱɚ 1. Ɇɟɬɨɞɨɦ ɧɚɢɦɟɧɶɲɢɯ ɤɜɚɞɪɚɬɨɜ ɨɩɪɟɞɟɥɢɬɶ ɩɚɪɚɦɟɬɪɵ ɚ ɢ
b ɥɢɧɟɣɧɨɣ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɢ ɭ = ɚɯ + b. ɉɨɫɬɪɨɢɬɶ ɝɪɚɮɢɤɢ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɚɥɶɧɨɣ
ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɢ ɭ ɨɬ ɯ ɢ ɚɩɩɪɨɤɫɢɦɢɪɭɸɳɟɣ ɩɪɹɦɨɣ ɭ = ɚɯ + b. ȼ
ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɢɢ ɫ ɜɚɪɢɚɧɬɨɦ ɜɵɛɪɚɬɶ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɯ ɢ ɭ ɜ ɬɚɛɥɢɰɟ 7.
Ɍɚɛɥɢɰɚ 7
ȼɚɪɢɚɧɬ 1 x
i
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
y
i
0,9 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5
ȼɚɪɢɚɧɬ 2 x
i
1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6
y
i
1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2
ȼɚɪɢɚɧɬ 3 x
i
3,2 3,4 3,6 3,8 4,0 4,2
y
i
2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0
ȼɚɪɢɚɧɬ 4 x
i
4,8 5,0 5,2 5,4 5,6 5,8
y
i
3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8
ȼɚɪɢɚɧɬ 5 x
i
6,4 6,6 6,8 7,0 7,2 7,4
y
i
4,0 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5
����������. ���� �� ��������� �������� ��������� ����� ������ – ���
����� ���������� ���������. ���������� ������ �������� �����������
����� ����� ���������� � � �. ����������� ����� � � � ����������
��������: � = �� + b, ��� � � b ��������� ���������� ������������,
���������� �����������. ������ ���������� ��������� ������� � ���,
��� ���������� ��������� ������������ � � b ���, ����� �����
��������� ������������ ���� �� �������� �������.
                             n                   n                          n                          n

                            �x       i          �y           i        _    �x      2
                                                                                   i           _      �x     i   yi
         ���������: x �     i �1
                                         , y�   i �1
                                                                 , x � 2   i �1
                                                                                           ,   xy �   i �1
                                                                                                                      .
                                 n                   n                         n                 n
                                                                            ��b � ax � y
         ���������� ������� ���������:                                       �         _     _ .   �����                  ������
                                                                             ��bx � a x 2 � xy
                                                                                   _
                                                                                  xy � x � y
������� � ������� ��������� �������: � =                                           _
                                                                                                   , b = y � x �a .
                                                                                  x 2 � (x ) 2
     ������� ����� ��������� � �������
  � �. �.    �i      yi        x i2                                               xi yi
    1
    2
   …
    n
     n

   �i �1
                                                         _                             _
                x�               y�                    x2 �                       xy �

      ������ 1. ������� ���������� ��������� ���������� ��������� � �
b �������� ����������� � = �� + b. ��������� ������� �����������������
����������� � �� � � ���������������� ������ � = �� + b. �
������������ � ��������� ������� �������� � � � � ������� 7.

                                                                 ������� 7
  ������� 1      xi   0,0        0,2      0,4     0,6             0,8 1,0
                 yi   0,9        1,1      1,2     1,3             1,4 1,5
  ������� 2      xi   1,6        1,8      2,0     2,2             2,4 2,6
                 yi   1,7        1,8      1,9     2,0             2,1 2,2
  ������� 3      xi   3,2        3,4      3,6     3,8             4,0 4,2
                 yi   2,5        2,6      2,7     2,8             2,9 3,0
  ������� 4      xi   4,8        5,0      5,2     5,4             5,6 5,8
                 yi   3,3        3,4      3,5     3,6             3,7 3,8
  ������� 5      xi   6,4        6,6      6,8     7,0             7,2 7,4
                 yi   4,0        4,1      4,2     4,3             4,4 4,5
                                                                 25