Математические уравнения в геофизике. Груздев В.Н. - 23 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

23
ɦɨɠɧɨ ɡɚɩɢɫɚɬɶ ɜ ɜɢɞɟ ɨɩɪɟɞɟɥɢɬɟɥɹ:
zyx
aaa
zyx
kji
arot
w
w
w
w
w
w
G
GG
G
ɢɥɢ
rot a =
i
z
a
y
a
y
z
G
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
w
w
w
w
+ j
x
a
z
a
z
x
G
¸
¹
·
¨
©
§
w
w
w
w
+
k
y
a
x
a
x
y
G
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
w
w
w
w
.
Ɋɨɬɨɪ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɹɟɬ ɫɨɛɨɣ ɜɟɤɬɨɪɧɭɸ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɭ ɜɟɤɬɨɪɧɨɝɨ
ɩɨɥɹ. ȼɟɤɬɨɪɧɨɟ ɩɨɥɟ, ɜ ɤɨɬɨɪɨɦ rot a = 0, ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɛɟɡɜɢɯɪɟɜɵɦ ɢɥɢ
ɩɨɬɟɧɰɢɚɥɶɧɵɦ.
Ɉɫɧɨɜɧɵɟ ɫɜɨɣɫɬɜɚ ɪɨɬɨɪɚ: rot(a + b) = rot a + rot b; rot(ua) = uǜrot a +
+ gradu x a; div(rot a) = 0; div(a x b) = b ǜ rot a – a ǜ rot b; rot(rot a) = graddiv
a – – ¨a.
ɐɢɪɤɭɥɹɰɢɹ ɜɟɤɬɨɪɧɨɝɨ ɩɨɥɹ ɫɜɹɡɚɧɚ ɫ ɟɝɨ ɪɨɬɨɪɨɦ ɮɨɪɦɭɥɨɣ
ɋɬɨɤɫɚ:
³³³
LS
sdarotrda
G
G
G
G
. ɐɢɪɤɭɥɹɰɢɹ ɜɟɤɬɨɪɚ ɩɨɥɹ ɩɨ ɤɨɧɬɭɪɭ L ɪɚɜɧɚ
ɩɨɬɨɤɭ ɪɨɬɨɪɚ ɩɨɥɹ ɱɟɪɟɡ ɥɸɛɭɸ ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɶ, ɨɝɪɚɧɢɱɟɧɧɭɸ ɷɬɢɦ
ɤɨɧɬɭɪɨɦ. Ɏɨɪɦɭɥɚ ɋɬɨɤɫɚ ɩɨɡɜɨɥɹɟɬ ɜɵɱɢɫɥɢɬɶ ɰɢɪɤɭɥɹɰɢɸ, ɧɟ ɩɪɨɜɨɞɹ
ɩɪɹɦɵɯ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɣ, ɚ ɬɚɤɠɟ ɡɚɦɟɧɢɬɶ ɤɨɧɬɭɪɧɵɟ ɢɧɬɟɝɪɚɥɵ
ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɧɵɦɢ ɢ ɧɚɨɛɨɪɨɬ.
Ɂɚɞɚɱɚ 6. ɇɚɣɬɢ rot
a
G
, ɟɫɥɢ a
G
= (mx
p
y
2
z + nx
p
)i
G
+ nx
p
y
m
z
n j
G
+ (x
3
y
p
+
+ pz
2
) k
G
. Ɂɧɚɱɟɧɢɹ m, n, p ɜɡɹɬɶ ɢɡ ɬɚɛɥɢɰɵ 6 ɫɨɝɥɚɫɧɨ ɜɚɪɢɚɧɬɭ.
ɉɪɢɦɟɪ 4. ɇɚɣɬɢ rot
a
G
, ɟɫɥɢ a
G
= (3x
2
y
2
z + 3x)i
G
+ 2x
3
yz j
G
+ (x
3
y
2
+
+ 3z
2
) k
G
.
223322
3233 zyxyzxxzyx
zyx
kji
arot
w
w
w
w
w
w
G
GG
G
=
i
z
yzx
y
zyx
G
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
w
w
w
w
)2(
)3(
3
223
+
j
x
zyx
z
xzyx
G
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
w
w
w
w )3()33(
22322
+
k
y
xzyx
x
yzx
G
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
w
w
w
w )33()2(
223
= (2x
3
y – 2x
3
y)i
G
+
+ (3x
2
y
2
– 3x
2
y
2
) j
G
+ (6x
2
yz – 6x
2
yz) k
G
= 0.
Ɂɚɞɚɱɚ 7. ȼɵɱɢɫɥɢɬɶ ɪɚɛɨɬɭ ɜɟɤɬɨɪɚ
kxyjxziyza
G
G
G
G
ɜɞɨɥɶ ɨɬɪɟɡɤɚ
ɩɪɹɦɨɣ ɨɬ ɬɨɱɤɢ Ⱥ(m, n, p) ɞɨ ɬɨɱɤɢ B(x
0
, y
0
, z
0
). Ɂɧɚɱɟɧɢɹ m, n, p, x
0
, y
0
, z
0
ɜɡɹɬɶ ɢɡ ɬɚɛɥɢɰɵ 6 ɫɨɝɥɚɫɧɨ ɡɚɞɚɧɧɨɦɭ ɜɚɪɢɚɧɬɭ.
ɉɪɢɦɟɪ 7. ȼɵɱɢɫɥɢɬɶ ɪɚɛɨɬɭ ɜɟɤɬɨɪɚ
kxyjxziyza
G
G
G
G
ɜɞɨɥɶ ɨɬɪɟɡɤɚ
ɩɪɹɦɨɣ ɨɬ ɬɨɱɤɢ Ⱥ(1, 2, 3) ɞɨ ɬɨɱɤɢ B(6, 1, 1).
ɉɪɢɦɟɧɢɦ ɮɨɪɦɭɥɭ u =
³
L
rda
GG
, ɪɚɫɩɢɫɚɜ ɟɟ ɜ ɜɢɞɟ:
³
AB
rda
GG
=
=
³
AB
zyx
dzadyadxa )( =
³
AB
xydzxzdyyzdx )( . ȼɵɪɚɡɢɦ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɭ ɢ z, ɚ ɬɚɤɠɟ
dy ɢ dz ɱɟɪɟɡ ɯ ɢ dx. ȼɨɫɩɨɥɶɡɭɟɦɫɹ ɤɚɧɨɧɢɱɟɫɤɢɦ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟɦ ɩɪɹɦɨɣ:
                                                                                    �       �     �
                                                                                   i        j    k
                                                                               �   �       �     �
�����              ��������          �         ����   ������������:         rota �                        ���
                                                                                   �x      �y    �z
                                                                                   ax      ay    az
             � �a z �a y � �        � �a x �a z � �   � �a y �a x � �
rot a = ��         �     �i +       �     �     �j+   ��    �     �k .
             � �y    �z ��          � �z    �x �       � �x   �y ��
       ����� ������������ ����� ��������� �������������� ����������
����. ��������� ����, � ������� rot a = 0, ���������� ����������� ���
�������������.
       �������� �������� ������: rot(a + b) = rot a + rot b; rot(ua) = u�rot a +
+ gradu x a; div(rot a) = 0; div(a x b) = b � rot a – a � rot b; rot(rot a) = graddiv
a – – �a.
       ���������� ���������� ���� ������� � ��� ������� ��������
           � �           � �
������: � a � dr � �� rota � ds . ���������� ������� ���� �� ������� L �����
               L              S

������ ������ ���� ����� ����� �����������, ������������ ����
��������. ������� ������ ��������� ��������� ����������, �� �������
������ ����������, � ����� �������� ��������� ���������
�������������� � ��������.                             �
                                                                   �
                              �       �
       ������ 6. ����� rot a , ���� a = (mxpy2z + nxp) i + nxpymzn j + (x3yp +
       �
+ pz2) k . �������� m, n, p ����� �� ������� 6 �������� ��������.
                                                         �        �
                                �       �
       ������ 4. ����� rot a , ���� a = (3x2y2z + 3x) i + 2x3yz j + (x3y2 +
     2 �
 + 3z ) k .
               �            �                    �
               i             j                   k
   �           �            �                    �          � � ( x 3 y 2 � 3z 2 ) � (2 x3 yz ) � �
rota �                                                   = ��                     �             ��i +
              �x           �y                   �z          �          �y              �z        �
       3 x 2 y 2 z � 3 x 2 x 3 yz         3 2
                                        x y � 3z       2


� � (3 x 2 y 2 z � 3 x) � ( x 3 y 2 � 3 z 2 ) � � � � (2 x 3 yz ) � (3 x 2 y 2 z � 3 x) � �           3  3   �
��                     �                      �� j + ��             �                    ��k = (2x y – 2x y) i +
 �         �z                    �x            �      �    �x                  �y         �
                         �                               �
+ (3x2y2 – 3x2y2) j + (6x2yz – 6x2yz) k = 0.
                                                                            �      �     �         �
           ������ 7. ��������� ������ ������� a � yzi � xzj � xyk ����� �������
������ �� ����� �(m, n, p) �� ����� B(x0, y0, z0). �������� m, n, p, x0, y0, z0
����� �� ������� 6 �������� ��������� ��������.             �
                                               �    �  �
      ������ 7. ��������� ������ ������� a � yzi � xzj � xyk ����� �������
������ �� ����� �(1, 2, 3) �� ����� B(6, 1, 1).
                                    � �                               � �
      �������� ������� u = � a � dr , �������� �� � ����: � a � dr =
                                                      L                                           AB

=   � (a dx � a
         x          y   dy � a z dz ) =   � ( yzdx � xzdy � xydz) . ������� �������� � � z, � �����
    AB                                    AB

dy � dz ����� � � dx. ������������� ������������ ���������� ������:


                                                          23