Математические уравнения в геофизике. Груздев В.Н. - 22 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

22
Ɂɚɞɚɱɚ 5. ɋ ɩɨɦɨɳɶɸ ɮɨɪɦɭɥɵ ɈɫɬɪɨɝɪɚɞɫɤɨɝɨȽɚɭɫɫɚ ɧɚɣɬɢ
ɩɨɬɨɤ ɜɟɤɬɨɪɚ
kpxnzjmzpyinymxa
G
G
G
G
)()()(
222222
ɱɟɪɟɡ ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɶ
ɤɭɛɚ ɫɨ ɫɬɨɪɨɧɚɦɢ 0 ɯ 1, 0 ɭ 1, 0 z 1.
ɉɪɢɦɟɪ 3. ɋ ɩɨɦɨɳɶɸ ɮɨɪɦɭɥɵ ɈɫɬɪɨɝɪɚɞɫɤɨɝɨȽɚɭɫɫɚ ɧɚɣɬɢ
ɩɨɬɨɤ ɜɟɤɬɨɪɚ
kxzjzyiyxa
G
G
G
G
)()()(
222222
ɱɟɪɟɡ ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɶ ɤɭɛɚ ɫɨ
ɫɬɨɪɨɧɚɦɢ 0 ɯ 1, 0 ɭ 1, 0 z 1.
ɋɨɝɥɚɫɧɨ ɮɨɪɦɭɥɟ ɈɫɬɪɨɝɪɚɞɫɤɨɝɨȽɚɭɫɫɚ
³³³³³
VS
dadivSda
W
G
G
G
ɧɚɣɞɟɦ div a
G
ɩɨ ɮɨɪɦɭɥɟ div a
G
=
z
a
y
a
x
a
z
y
x
w
w
w
w
w
w
. div a
G
=
= 2(ɯ + ɭ + z ). Ɍɟɩɟɪɶ ɧɚɯɨɞɢɦ ɩɨɬɨɤ: Q =
³³³
V
dzyx
W
)(2 =
=
³³³
V
zdydxd )(2
WWW
. Ʉɚɠɞɵɣ ɢɡ ɬɪɟɯ ɢɧɬɟɝɪɚɥɨɜ ɪɟɲɚɟɦ ɩɨ ɨɬɞɟɥɶɧɨɫɬɢ:
³³³³³³
1
0
SV
dydzxdxxd
W
, ɝɞɟ S – ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɶ, ɩɟɪɩɟɧɞɢɤɭɥɹɪɧɚɹ ɨɫɢ ɯ. ȿɟ
ɩɥɨɳɚɞɶ ɪɚɜɧɚ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɸ ɫɬɨɪɨɧ, ɞɥɢɧɵ ɤɨɬɨɪɵɯ ɪɚɜɧɵ 1, ɬ. ɟ.
1
³³
S
dydz . Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ,
2
1
2
1
0
2
³³³
x
xd
V
W
. Ⱥɧɚɥɨɝɢɱɧɨ ɦɨɠɧɨ ɧɚɣɬɢ ɢ ɞɜɚ
ɞɪɭɝɢɯ ɢɧɬɟɝɪɚɥɚ ɢ ɜ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɟ ɩɨɥɭɱɢɦ: Q = 2(
)
2
1
2
1
2
1
= 3.
Ɂɚɞɚɧɢɟ 3. ȼɵɱɢɫɥɟɧɢɟ ɰɢɪɤɭɥɹɰɢɢ ɜɟɤɬɨɪɚ, ɪɨɬɨɪɚ. ɉɪɢɦɟɧɟɧɢɟ
ɮɨɪɦɭɥɵ ɋɬɨɤɫɚ.
Ɋɚɛɨɬɚ ɜɟɤɬɨɪɚ ɩɨ ɩɟɪɟɦɟɳɟɧɢɸ ɦɚɬɟɪɢɚɥɶɧɨɣ ɬɨɱɤɢ ɜɞɨɥɶ ɤɪɢɜɨɣ
ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɬɫɹ ɤɪɢɜɨɥɢɧɟɣɧɵɦ ɢɧɬɟɝɪɚɥɨɦ: u =
³
L
rda
GG
. ɗɬɨɬ ɢɧɬɟɝɪɚɥ
ɧɚɡɵɜɚɸɬ ɬɚɤɠɟ ɥɢɧɟɣɧɵɦ ɢɧɬɟɝɪɚɥɨɦ. ɋɤɚɥɹɪɧɨɟ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɟ, ɫɬɨɹɳɟɟ
ɩɨɞ ɟɝɨ ɡɧɚɤɨɦ, ɦɨɠɧɨ ɡɚɩɢɫɚɬɶ ɱɟɪɟɡ ɩɪɨɟɤɰɢɢ. ȿɫɥɢ ɤɪɢɜɚɹ L ɡɚɦɤɧɭɬɚɹ,
ɬɨ ɩɪɨɢɡɜɨɞɢɦɚɹ ɜɟɤɬɨɪɨɦ ɪɚɛɨɬɚ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɰɢɪɤɭɥɹɰɢɟɣ.
Ⱦɥɹ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɹ ɰɢɪɤɭɥɹɰɢɢ ɦɨɠɧɨ ɢɫɩɨɥɶɡɨɜɚɬɶ ɥɸɛɭɸ ɢɡ ɮɨɪɦɭɥ:
u =
³
L
rda
GG
ɢɥɢ u =
³
L
dra
W
ɢɥɢ u =
³
L
zyx
dzadyadxa )(
, ɢɥɢ u =
³
L
dsa
0
W
GG
,
ɝɞɟ ɚ
IJ
ɩɪɨɟɤɰɢɹ ɜɟɤɬɨɪɚ ɚ ɧɚ ɤɚɫɚɬɟɥɶɧɭɸ ɤ ɤɪɢɜɨɣ L,
0
W
G
ɟɞɢɧɢɱɧɵɣ
ɜɟɤɬɨɪ ɤɚɫɚɬɟɥɶɧɨɣ ɤ ɤɪɢɜɨɣ L.
ɉɪɢ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɢ ɪɚɛɨɬɵ ɞɨɥɠɧɨ ɛɵɬɶ ɡɚɞɚɧɨ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɢɟ ɨɛɯɨɞɚ ɩɨ
ɤɪɢɜɨɣ. Ⱦɥɹ ɩɪɚɜɨɣ ɫɢɫɬɟɦɵ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬ ɟɝɨ ɩɪɢɧɢɦɚɸɬ ɩɪɨɬɢɜ ɱɚɫɨɜɨɣ
ɫɬɪɟɥɤɢ.
Ɋɨɬɨɪɨɦ ɜɟɤɬɨɪɧɨɝɨ ɩɨɥɹ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɜɟɤɬɨɪ, ɩɪɨɟɤɰɢɢ ɤɨɬɨɪɨɝɨ ɧɚ
ɤɚɠɞɨɟ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɢɟ ɪɚɜɧɵ ɩɪɟɞɟɥɭ ɨɬɧɨɲɟɧɢɹ ɰɢɪɤɭɥɹɰɢɢ ɩɨɥɹ ɩɨ
ɤɨɧɬɭɪɭ ɩɥɨɫɤɨɣ ɩɥɨɳɚɞɤɢ, ɩɟɪɩɟɧɞɢɤɭɥɹɪɧɨɣ ɷɬɨɦɭ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɢɸ, ɤ
ɜɟɥɢɱɢɧɟ ɩɥɨɳɚɞɤɢ, ɤɨɝɞɚ
ɪɚɡɦɟɪɵ ɟɟ ɫɬɪɟɦɹɬɫɹ ɤ ɧɭɥɸ, ɬ. ɟ.
rot
n
a =
S
rda
L
S
'
³
o'
GG
0
lim . ɋɚɦ ɜɟɤɬɨɪ rot a, ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɬɚɤɠɟ ɜɢɯɪɟɜɵɦ ɩɨɥɟɦ ɢ ɟɝɨ
      ������ 5. � ������� ������� ��������������                         �
                                                                              – ������ �����
                �                  �                      �
����� ������� a � (mx 2 � ny 2 )i � ( py 2 � mz 2 ) j � (nz 2 � px 2 )k ����� �����������
���� �� ��������� 0 � � � 1, 0 � � � 1, 0 � z � 1.
      ������ 3. � ������� ������� ��������������                  �
                                                                              – ������ �����
               �               �                 �
����� ������� a � ( x 2 � y 2 )i � ( y 2 � z 2 ) j � ( z 2 � x 2 )k ����� ����������� ���� ��
��������� 0 � � � 1, 0 � � � 1, 0 � z � 1.
      ��������           �������                   ��������������              –       ������
     �       �                   �                       �                     �       �a x �a y �a z       �
�� a � dS � ��� diva � d� ������ div a
S                    V
                                                             �� ������� div a =
                                                                                        �x
                                                                                           �
                                                                                             �y
                                                                                                �
                                                                                                  �z
                                                                                                      . div a =

= 2(� + � + z ). ������ ������� �����: Q = 2��� ( x � y � z )d� =
                                                                                                 V

= 2��� ( xd� � yd� � zd� ) . ������ �� ���� ���������� ������ �� �����������:
         V
                 1

��� xd� � � xdx �� dydz ,
 V               0           S
                                               ��� S – �����������, ���������������� ��� �. ��

������� ����� ������������ ������, ����� ������� ����� 1, �. �.
                                       1                         x2
�� dydz � 1 . ����� �������, ��� xd� �   . ���������� ����� ����� � ���1
                                                                       0   �
S
                                       2             V
                                                                 2
                                               1 1 1
������ ��������� � � ���������� �������: Q = 2( � � ) = 3.
                                               2 2 2
     ������� 3. ���������� ���������� �������, ������. ����������
������� ������.
     ������ ������� �� ����������� ������������ ����� ����� ������
                                                 � �
������������ ������������� ����������: u = � a � dr . ���� ��������
                                                                                   L

�������� ����� �������� ����������. ��������� ������������, �������
��� ��� ������, ����� �������� ����� ��������. ���� ������ L ���������,
�� ������������ �������� ������ ���������� �����������.
       ��� ���������� ���������� ����� ������������ ����� �� ������:
      � �                                                                      � �
u = � a � dr ��� u = � a� dr ��� u = � (a x dx � a y dy � a z dz ) , ��� u = � a � � 0 � ds ,
         L                                 L                 L                                   L
                                                                                             �
��� �� – �������� ������� � �� ����������� � ������ L, � 0 – ���������
������ ����������� � ������ L.
      ��� ���������� ������ ������ ���� ������ ����������� ������ ��
������. ��� ������ ������� ��������� ��� ��������� ������ �������
�������.
      ������� ���������� ���� ���������� ������, �������� �������� ��
������ ����������� ����� ������� ��������� ���������� ���� ��
������� ������� ��������, ���������������� ����� �����������, �
�������� ��������, ����� ������� �� ��������� � ����, �. �.
                             �       �
                         � a � dr
rotna = lim              L
                                         . ��� ������ rot a, ���������� ����� �������� ����� � ���
                 �S �0       �S
                                                                      22