Математические уравнения в геофизике. Груздев В.Н. - 21 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

21
ɤɨɨɪɞɢɧɚɬ. f = 6,67 ǜ 10
–8
2
3
ɫɝ
cɦ
. M = |m| ǜ 10
9
ɝ, r = 10
3
· |p|, ɫɦ. Ɂɧɚɱɟɧɢɹ, m
ɢ p ɜɡɹɬɶ ɢɡ ɬɚɛɥɢɰɵ 6 ɫɨɝɥɚɫɧɨ ɜɚɪɢɚɧɬɭ.
ɉɪɢɦɟɪ 1. ɉɨɬɨɤ ɧɚɣɞɟɦ ɩɨ ɮɨɪɦɭɥɟ: Q =
³³
S
n
dSa , ɝɞɟ a
n
= F
n
.
Q =
³³
S
n
dSF . ɇɨɪɦɚɥɶ ɤ ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɢ ɫɮɟɪɵ ɫɨɜɩɚɞɚɟɬ ɫ ɪɚɞɢɭɫɨɦ, ɢ
ɩɪɨɟɤɰɢɹ F
n
ɪɚɜɧɚ ɦɨɞɭɥɸ ɜɟɤɬɨɪɚ F
G
, ɬ. ɟ. F
n
= |F| =
=
2
222
3
R
M
fzyx
R
M
f
, ɬɚɤ ɤɚɤ ɧɚ ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɢ ɫɮɟɪɵ r = R. Ɍɟɩɟɪɶ
ɧɚɯɨɞɢɦ ɩɨɬɨɤ: Q =
³³
S
dS
R
M
f
2
= f
2
2
4 R
R
M
S
= 4ʌfM.
Ɂɚɞɚɱɚ 3. ȼɵɱɢɫɥɢɬɶ ɞɢɜɟɪɝɟɧɰɢɸ ɟɞɢɧɢɱɧɨɝɨ ɪɚɞɢɭɫɚ-ɜɟɤɬɨɪɚ ɜ
ɬɨɱɤɟ Ɇ
0
(ɯ
0
, ɭ
0
, z
0
). Ɂɧɚɱɟɧɢɹ ɯ
0
, ɭ
0
, z
0
ɜɡɹɬɶ ɢɡ ɬɚɛɥɢɰɵ 6 ɫɨɝɥɚɫɧɨ
ɜɚɪɢɚɧɬɭ.
ɉɪɢɦɟɪ 2. ȼɵɱɢɫɥɢɬɶ ɞɢɜɟɪɝɟɧɰɢɸ ɟɞɢɧɢɱɧɨɝɨ ɪɚɞɢɭɫɚ-ɜɟɤɬɨɪɚ ɜ
ɬɨɱɤɟ Ɇ
0
(0, 3, 4).
ȿɞɢɧɢɱɧɵɣ ɪɚɞɢɭɫ-ɜɟɤɬɨɪ ɢɦɟɟɬ ɜɢɞ:
r
r
r
G
G
G
0
, ɝɞɟ kzjyixr
G
G
G
G
,
222
zyxr
G
.
Ⱦɥɹ ɧɚɯɨɠɞɟɧɢɹ ɞɢɜɟɪɝɟɧɰɢɢ ɜɨɫɩɨɥɶɡɭɟɦɫɹ ɫɜɨɣɫɬɜɨɦ
div (ua) = u ǜ div a + gradu ǜ a, ɩɨɥɚɝɚɹ, ɱɬɨ u =
r
G
1
ɢ ɚ =
r
G
; div (
0
r
G
) = div
r
r
G
G
=
=
r
G
1
ǜdiv
r
G
+ grad
r
G
1
ǜ
r
G
; div
r
G
= div ( kzjyix
G
G
G
) =
z
z
y
y
x
x
w
w
w
w
w
w
= 3; grad
r
G
1
=
= grad(x
2
+ y
2
+ z
2
)
–1/2
= – ixzyx
G
2)(
2
1
2
3
222
jyzyx
G
2)(
2
1
2
3
222
kzzyx
G
2)(
2
1
2
3
222
= –
2
3
222
)( zyx
kzjyix
G
G
G
. ɇɚɣɞɟɦ ɫɤɚɥɹɪɧɨɟ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɟ
grad
r
1
ǜ
r
G
; grad
r
G
1
ǜ
r
G
=
2
3
222
)( zyx
zzyyxx
= –
r
r
r 1
3
2
. ɉɨ ɧɚɣɞɟɧɧɵɦ ɡɧɚɱɟɧɢɹɦ
ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɦ div
0
r
G
=
rrr
GGG
213
. ɉɨɞɫɬɚɜɥɹɹ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɵ ɡɚɞɚɧɧɨɣ ɬɨɱɤɢ,
ɩɨɥɭɱɢɦ div
)(
0
Mr
G
=
5
2
430
2
222
.
Ɂɚɞɚɱɚ 4. ȼɵɱɢɫɥɢɬɶ ɞɢɜɟɪɝɟɧɰɢɸ ɩɨɥɹ
kpxnzjmzpyinymxa
G
G
G
G
)()()(
222222
ɜ ɬɨɱɤɟ Ɇ(ɯ
0
, ɭ
0
, z
0
). Ɂɧɚɱɟɧɢɹ m, n,
p, ɯ
0
, ɭ
0
, z
0
ɜɡɹɬɶ ɢɡ ɬɚɛɥɢɰɵ 6 ɫɨɝɥɚɫɧɨ ɜɚɪɢɚɧɬɭ.
                                           c� 3
                                      –8                         9         3
���������. f = 6,67 � 10                   � � � 2 . M = |m| � 10 �, r = 10 · |p|, ��. ��������, m
� p ����� �� ������� 6 �������� ��������.
      ������ 1. ����� ������ �� �������: Q =                                   �� a dS     n        , ��� an = Fn.
                                                                               S

Q =     �� F dS .
             n            ������� � ����������� ����� ��������� � ��������, �
         S
                                                                              �
��������             Fn       �����        ������               �������       F,               �. �.     Fn       =   |F|          =
   M                  M
= f 3   x � y � z � f 2 , ��� ��� �� ����������� ����� r = R. ������
                 2        2   2

   R                  R
                     M          M
������� �����: Q = f 2 �� dS = f 2 4�R 2 = 4�fM.
                     R S        R
      ������ 3. ��������� ����������� ���������� �������-������� �
����� �0(�0, �0, z0). �������� �0, �0, z0 ����� �� ������� 6 ��������
��������.
      ������ 2. ��������� ����������� ���������� �������-������� �
����� �0(0, 3, 4).                                �
                                                                              �                r              �   �   �         �
        ��������� ������-������ ����� ���: r 0 � � , ��� r � xi � yj � zk ,
                                                                                               r
�
r � x2� y2 � z2 .
        ���           ����������               �����������                �������������
                                                                                 �
                                                                                                                  ���������
                                                   1       �         �           r
div (ua) = u � div a + gradu � a, �������, ��� u = � � � = r ; div ( r 0 ) = div � =
                                                   r                             r
   1      �          1    �       �         � �    �     �x �y �z                 1
= � �div r + grad � � r ; div r = div ( xi � yj � zk ) =   �    � = 3; grad � =
   r                 r                                   �x �y �z                 r
                                                                1                  �
                                                                                       3
                                                                                                   � 1                �
                                                                                                                          3
                                                                                                                               �
= grad(x2 + y2 + z2)–1/2 = – ( x 2 � y 2 � z 2 ) 2 2 xi – ( x 2 � y 2 � z 2 ) 2 2 yj –
                                                                2                                    2
                                        � �       �
1 2                �
                     3   �             xi � yj � zk
  ( x � y 2 � z 2 ) 2 2 zk =      –                    3
                                                            .        ������       ���������                   ������������
2
                                      (x 2 � y 2 �z 2 ) 2
       1 �          1   �                  xx � yy � zz               r2    1
grad     � r ; grad � � r =                                     =–       � � . �� ��������� ���������
       r            r                                       3
                                                                      r3    r
                             (x 2 � y 2 �z 2 )              2

                   �    3 1         2
���������� div r 0 = � � � � � . ���������� ���������� �������� �����,
                        r     r     r
            �                  2             2
������� div r 0 ( M ) =                  � .
                         0 2 � 32 � 4 2 5
        ������ 4.                          ���������    �
                                                                              �����������                                     ����
�                 �                   �
a � (mx 2 � ny 2 )i � ( py 2 � mz 2 ) j � (nz 2 � px 2 )k � ����� �(�0, �0, z0). �������� m, n,
p, �0, �0, z0 ����� �� ������� 6 �������� ��������.



                                                                21