Математические уравнения в геофизике. Груздев В.Н. - 19 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

19
ɫɤɨɪɨɫɬɢ ɢɡɦɟɧɟɧɢɹ ɩɨɥɹ ɜ ɷɬɨɣ ɬɨɱɤɟ, ɬ. ɟ. gradu
l
u
l
w
w
max =
=
2
2
2
¸
¹
·
¨
©
§
w
w
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
w
w
¸
¹
·
¨
©
§
w
w
z
u
y
u
x
u
. ɂɫɩɨɥɶɡɭɹ ɝɪɚɞɢɟɧɬ, ɦɨɠɧɨ ɨɩɪɟɞɟɥɢɬɶ
ɟɞɢɧɢɱɧɵɣ ɜɟɤɬɨɪ ɧɨɪɦɚɥɢ
0
n
G
ɤ ɷɤɜɢɩɨɬɟɧɰɢɚɥɶɧɨɣ ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɢ:
2
2
2
0
¸
¹
·
¨
©
§
w
w
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
w
w
¸
¹
·
¨
©
§
w
w
w
w
w
w
w
w
z
u
y
u
x
u
k
z
u
j
y
u
i
x
u
gradu
gradu
n
G
G
G
G
.
Ɉɫɧɨɜɧɵɟ ɫɜɨɣɫɬɜɚ ɝɪɚɞɢɟɧɬɚ ɜɵɪɚɠɚɸɬɫɹ ɫɥɟɞɭɸɳɢɦɢ ɮɨɪɦɭɥɚɦɢ:
grad(u + v) = gradu + gradv; grad(u ǜ v) = uǜgradv + vǜgradu; grad(c ǜ u) =
= c ǜ gradu.
Ɂɚɞɚɱɚ 1. ɇɚɣɬɢ: ɚ) ɝɪɚɞɢɟɧɬ ɮɭɧɤɰɢɢ u =
22
nymx
x
p
ɜ ɬɨɱɤɟ
Ɇ
0
(ɯ
0
, ɭ
0
); ɛ) ɟɞɢɧɢɱɧɵɣ ɜɟɤɬɨɪ ɧɨɪɦɚɥɢ ɤ ɷɤɜɢɩɨɬɟɧɰɢɚɥɶɧɨɣ
ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɢ; ɜ) ɦɚɤɫɢɦɚɥɶɧɭɸ ɫɤɨɪɨɫɬɶ ɢɡɦɟɧɟɧɢɹ ɩɨɥɹ ɜ ɬɨɱɤɟ M
0
.
Ɂɧɚɱɟɧɢɹ m, n, p, x
0
,y
0
ɜɡɹɬɶ ɢɡ ɬɚɛɥɢɰɵ 6 ɫɨɝɥɚɫɧɨ ɜɚɪɢɚɧɬɭ.
Ɍɚɛɥɢɰɚ 6
ɇɨɦɟɪ
ɜɚɪɢɚɧɬɚ
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
m 2 4 3 4 2 3 4 4 6 7 3 2 1 0
n 4 5 4 3 1 –4 3 –3 7 –3 4 –1 0 –5
p 0 1 4 2 1 2 1 4 3 2 1 2 1 1
x
0
4 5 5 2 1 –4 4 –6 7 –3 2 –1 0 2
y
0
2 2 3 3 4 4 2 2 3 3 4 4 5 5
z
0
5 –4 2 1 –6 –8 9 4 0 –2 8 4 3 5
ɇɨɦɟɪ
ɜɚɪɢɚɧɬɚ
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28
m 3 4 3 4 1 1 6 3 9 8 3 3 5 5
n –4 –3 4 3 –1 –6 9 –4 8 3 –3 5 –5 6
p 3 1 1 1 2 3 3 4 3 3 2 2 1 0
x
0
4 1 –1 –6 9 –9 8 3 –3 5 –5 6 0 –6
y
0
2 3 3 4 4 5 5 1 2 2 3 3 4 4
z
0
9 4 0 –2 8 4 3 5 1 5 –4 2 1 –6
Ɂɚɞɚɧɢɟ 2. ȼɵɱɢɫɥɟɧɢɟ ɩɨɬɨɤɚ ɜɟɤɬɨɪɚ ɱɟɪɟɡ ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɶ
ɞɢɜɟɪɝɟɧɰɢɢ. ɉɪɢɦɟɧɟɧɢɟ ɮɨɪɦɭɥɵ ɈɫɬɪɨɝɪɚɞɫɤɨɝɨȽɚɭɫɫɚ.
ɉɨɬɨɤ Q ɜɟɤɬɨɪɚ ɚ ɱɟɪɟɡ ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɶ S ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɹɟɬ ɫɨɛɨɣ
ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɨ ɫɢɥɨɜɵɯ ɥɢɧɢɣ, ɩɪɢɧɢɡɵɜɚɸɳɢɯ ɷɬɭ ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɶ. ɉɨɬɨɤ
                                                                                           �u
��������       ���������            ���� � ���� �����,                   �. �.       max      � gradu      =
                                                                                      l    �l
           2           2            2
     � �u � � �u � � �u �
=    � � � �� �� � � � .                    ���������            ��������,     �����           ����������
     � �x � � �y � � �z �
                                                    �
���������        ������            �������          n0 �       �����������������           �����������:
                   �u � �u � �u �
                      i�    j�    k
�    gradu         �x    �y    �z
n0 �       �                                        .
     gradu                 2            2       2
                 � �u � � �u � � �u �
                 � � � �� �� � � �
                 � �x � � �y � � �z �
       �������� �������� ��������� ���������� ���������� ���������:
grad(u + v) = gradu + gradv; grad(u � v) = u�gradv + v�gradu; grad(c � u) =
= c � gradu.
                                                                                      xp
     ������ 1. �����: �) �������� ������� u =                                                       � �����
                                                                                  mx � ny 2
                                                                                      2


�0(�0, �0); �) ��������� ������ ������� � �����������������
�����������; �) ������������ �������� ��������� ���� � ����� M0.
�������� m, n, p, x0,y0 ����� �� ������� 6 �������� ��������.

                                                                                               ������� 6
 ����� 1           2           3    4       5       6      7    8    9    10     11       12   13 14
��������
   m     2          4          3        4   2 3            4    4    6     7     3        2     1     0
   n     4         5           4        3   1 –4           3    –3   7    –3     4        –1    0     –5
   p     0          1          4        2   1 2            1    4    3     2     1        2     1     1
   x0    4         5           5        2   1 –4           4    –6   7    –3     2        –1    0     2
   y0    2          2          3        3   4 4            2    2    3     3     4        4     5     5
   z0    5         –4          2        1   –6 –8          9    4    0    –2     8        4     3     5

 ����� 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24                                             25       26    27    28
��������
   m     3 4 3 4 1 1 6 3 9 8                                                     3         3    5     5
   n     –4 –3 4 3 –1 –6 9 –4 8 3                                                –3        5    –5    6
   p     3 1 1 1 2 3 3 4 3 3                                                     2         2    1     0
   x0    4 1 –1 –6 9 –9 8 3 –3 5                                                 –5        6     0    –6
   y0    2 3 3 4 4 5 5 1 2 2                                                     3         3    4     4
   z0    9 4 0 –2 8 4 3 5 1 5                                                    –4        2     1    –6

     ������� 2. ���������� ������ ������� ����� �����������
�����������. ���������� ������� �������������� – ������.
     ����� Q ������� � ����� ����������� S ������������ �����
���������� ������� �����, ������������� ��� �����������. �����
                                                        19