Математические уравнения в геофизике. Груздев В.Н. - 17 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

17
ɤ + f, ɬ. ɟ.
³
f
a
dxxf )(
=
fot
lim
³
t
a
dxxf )(
. ȿɫɥɢ ɩɪɟɞɟɥ ɫɭɳɟɫɬɜɭɟɬ ɢ ɤɨɧɟɱɟɧ, ɬɨ
ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɣ ɢɧɬɟɝɪɚɥ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɫɯɨɞɹɳɢɦɫɹ, ɜ ɩɪɨɬɢɜɧɨɦ ɫɥɭɱɚɟ
ɪɚɫɯɨɞɹɳɢɦɫɹ. ɂɫɩɨɥɶɡɨɜɚɧɢɟ ɧɟɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɯ ɢɧɬɟɝɪɚɥɨɜ ɩɨɡɜɨɥɹɟɬ
ɨɩɪɟɞɟɥɹɬɶ ɩɥɨɳɚɞɶ ɩɨɥɭɛɟɫɤɨɧɟɱɧɨɣ ɢɥɢ ɛɟɫɤɨɧɟɱɧɨɣ ɮɢɝɭɪɵ.
ɉɨ ɚɧɚɥɨɝɢɢ ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɬɫɹ ɧɟɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɣ ɢɧɬɟɝɪɚɥ ɧɚ
ɩɨɥɭɢɧɬɟɪɜɚɥɟ (–f, b] ɜ ɜɢɞɟ:
³
f
b
dxxf )( =
fob
lim
³
b
t
dxxf )(
. ɇɟɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɣ
ɢɧɬɟɝɪɚɥ ɧɚ ɢɧɬɟɪɜɚɥɟ (–f, + f) ɢɦɟɟɬ ɜɢɞ:
³
f
f
dxxf )( =
³
f
a
dxxf )( +
³
f
a
dxxf )(
.
ɉɪɢ ɷɬɨɦ ɢɧɬɟɝɪɚɥ
³
f
f
dxxf )( ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɫɯɨɞɹɳɢɦɫɹ. ȿɫɥɢ ɯɨɬɹ ɛɵ ɨɞɢɧ ɢɡ
ɢɧɬɟɝɪɚɥɨɜ
³
f
a
dxxf )( ,
³
f
a
dxxf )(
ɪɚɫɯɨɞɢɬɫɹ, ɬɨ ɧɟɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɣ ɢɧɬɟɝɪɚɥ
³
f
f
dxxf )( ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɪɚɫɯɨɞɹɳɢɦɫɹ.
ɇɟɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɣ ɢɧɬɟɝɪɚɥ
³
f
f
dxe
x
2
2
=
S
2 ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɢɧɬɟɝɪɚɥɨɦ
ɗɣɥɟɪɚɉɭɚɫɫɨɧɚ.
ɇɟɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɦ ɢɧɬɟɝɪɚɥɨɦ
³
b
a
dxxf )(
ɨɬ ɮɭɧɤɰɢɢ y = f(x) ɧɚ
ɩɨɥɭɢɧɬɟɪɜɚɥɟ [a, b) ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɩɪɟɞɟɥ
o0
lim
G
³
G
b
a
dxxf )(
, ɝɞɟ G > 0, ɬ. ɟ.
³
b
a
dxxf )(
=
o0
lim
G
³
G
b
a
dxxf )(
. ȿɫɥɢ ɩɪɟɞɟɥ ɫɭɳɟɫɬɜɭɟɬ ɢ ɤɨɧɟɱɟɧ, ɬɨ
ɧɟɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɣ ɢɧɬɟɝɪɚɥ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɫɯɨɞɹɳɢɦɫɹ, ɜ ɩɪɨɬɢɜɧɨɦ ɫɥɭɱɚɟ
ɪɚɫɯɨɞɹɳɢɦɫɹ.
Ⱥɧɚɥɨɝɢɱɧɨ ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɬɫɹ ɩɨɧɹɬɢɟ ɧɟɫɨɛɫɬɜɟɧɧɨɝɨ ɢɧɬɟɝɪɚɥɚ ɨɬ
ɮɭɧɤɰɢɢ y = f(x) ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɨɣ, ɧɨ ɧɟɨɝɪɚɧɢɱɟɧɧɨɣ ɧɚ (ɚ, b]:
³
b
a
dxxf )(
=
=
o0
lim
G
³
b
a
dxxf
G
)(
. ȿɫɥɢ ɮɭɧɤɰɢɹ ɧɟ ɨɝɪɚɧɢɱɟɧɚ ɜ ɧɟɤɨɬɨɪɨɣ ɬɨɱɤɟ ɫ (ɚ, b),
ɬɨ ɢɧɬɟɝɪɚɥ
³
b
a
dxxf )(
ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɧɟɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɦ. ȼ ɷɬɨɦ ɫɥɭɱɚɟ ɢɧɬɟɝɪɚɥ
³
b
a
dxxf )(
=
³
c
a
dxxf )(
+
³
b
c
dxxf )(
ɫɱɢɬɚɟɬɫɹ ɫɯɨɞɹɳɢɦɫɹ, ɟɫɥɢ ɫɯɨɞɹɬɫɹ ɞɜɚ
                        ��                                   t
� + �, �. �. � f ( x)dx = lim                                � f ( x)dx .    ���� ������ ���������� � �������, ��
                                                    t � ��
                        a                                    a

����������� �������� ���������� ����������, � ��������� ������ –
������������. ������������� ������������� ���������� ���������
���������� ������� ��������������� ��� ����������� ������.
      ��    ��������   ������������  �������������    �������� ��
                                                                            b                                       b
������������� (–�, b] � ����:                                               �    f ( x)dx =                 lim     � f ( x)dx .   �������������
                                                                                                        b � ��
                                                                            ��                                      t
                                                                                                       ��                    a                 ��
�������� �� ��������� (–�, + �) ����� ���: � f ( x)dx =                                                                      � f ( x)dx   +    � f ( x)dx .
                                                                                                      ��                    ��                 a
                                              ��
��� ���� ��������                             � f ( x)dx         ���������� ����������. ���� ���� �� ���� ��
                                              ��
                             a                         ��
����������                   � f ( x)dx , � f ( x)dx                 ����������, �� ������������� ��������
                            ��                         a
��

� f ( x)dx         ���������� ������������.
��
                                                                             ��          x2
                                                                                     �
          �������������                                ��������                 �e       2
                                                                                              dx =           2� ����������                ����������
                                                                             ��

������ – ��������.
                                                                                         b
          ������������� ����������                                                       � f ( x)dx ��            ������� y = f(x) ��
                                                                                         a
                                                                                                             b ��
������������� [a, b) ���������� ������ lim                                                                    � f ( x)dx ,       ��� � > 0, �. �.
                                                                                                     � �0�
                                                                                                              a
b                                      b ��

� f ( x)dx          =            lim    � f ( x)dx .             ����           ������                ����������                   �   �������,         ��
                             � �0 �
a                                       a

������������� �������� ���������� ����������, � ��������� ������ –
������������.
     ���������� ������������ ������� �������������� ��������� ��
                                                                                                                                           b
������� y = f(x) �����������, �� �������������� �� (�, b]:                                                                                 � f ( x)dx   =
                                                                                                                                           a
               b
= lim          �� f ( x)dx . ���� ������� �� ���������� � ��������� ����� � � (�, b),
     � �0 �
              a�
                             b
�� ��������                  � f ( x)dx            ���������� �������������. � ���� ������ ��������
                             a
b                   c                              b

�   f ( x)dx =      �   f ( x)dx +                 � f ( x)dx      ��������� ����������, ���� �������� ���
a                   a                              c




                                                                                 17