Математические уравнения в геофизике. Груздев В.Н. - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

15
³
dxx
x
x
x
)
11
(
4
8
3
=
³
dxx
2
1
+
³
dxx
3
1
+
³
dxx
8
+
³
dxx
4
=
2
3
7
3
2
3
4
32
7
23
xxx
x
C
= Cx
x
xx
3
7
323
4
7
1
2
3
3
2
.
ɉɪɢɦɟɪ 2. ȼɵɱɢɫɥɢɬɶ ɧɟɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɵɣ ɢɧɬɟɝɪɚɥ
³
dx
x21
1
.
³
dx
x21
1
=
2
2,21
dt
dx
dxdtɯt
ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɯɁɚɦɟɧɚ
=
³
t
dt
2
=
³
t
dt
2
1
= Ct
||ln
2
1
.
ɉɪɢɦɟɪ 3. ȼɵɱɢɫɥɢɬɶ ɧɟɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɵɣ ɢɧɬɟɝɪɚɥ
³
dxxe
x2
.
³
dxxe
x2
=
2
,,,
2
2
x
x
e
v
dxedvdxduxu
ɱɚɫɬɹɦɩɨɚɧɢɟɂɧɬɟɝɪɢɪɨɜ
= u ǜ v –
³
vdu = x
2
2
x
e
–
–
³
dx
e
x
2
2
= C
exe
xx
42
22
.
ɂɧɬɟɝɪɢɪɨɜɚɧɢɟɦ ɩɨ ɱɚɫɬɹɦ ɜɵɱɢɫɥɹɸɬɫɹ ɢɧɬɟɝɪɚɥɵ ɜɢɞɚ:
³
xx ln dx,
³
xdxxsin ,
³
xdxxcos ,
³
xdxx arcsin ,
x
arctg dx
³
ɢɞɪ.
ɉɪɢɦɟɪ 4. ȼɵɱɢɫɥɢɬɶ ɧɟɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɵɣ ɢɧɬɟɝɪɚɥ
³
84
2
x
x
dx
.
³
84
2
x
x
dx
=
ɤɜɚɞɪɚɬ
ɩɨɥɧɵɣɜɵɞɟɥɢɬɶɧɟɨɛɯɨɞɢɦɨ
ɬɨɬɪɟɯɱɥɟɧɤɜɚɞɪɚɬɧɵɣ
ɫɬɨɢɬɟɡɧɚɦɟɧɚɬɟɥɜȿɫɥɢ
,
=
³
84)422(
2
xx
dx
=
=
³
4)2(
2
x
dx
= C
x
arctg
2
2
2
1
. Ⱥɧɚɥɨɝɢɱɧɨ ɜɵɱɢɫɥɹɟɬɫɹ ɢɧɬɟɝɪɚɥ ɜɢɞɚ:
³
157
2
xx
dx
.
ɉɪɢɦɟɪ 5. ȼɵɱɢɫɥɢɬɶ ɧɟɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɵɣ ɢɧɬɟɝɪɚɥ
³
dx
xx
x
)2()1(
12
2
.
³
dx
xx
x
)2()1(
12
2
=
ɬɨɜɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧ
ɧɧɵɯɧɟɨɩɪɟɞɟɥɟɦɟɬɨɞɫɹɂɫɩɨɥɶɡɭɟɬ
=
³
dx
x
A
)1(
+
+
³
dx
x
B
2
)1(
+
³
dx
x
C
)2(
=
³
dx
x )1(
1
+
³
dx
x
2
)1(
1
+
³
dx
x )2(
1
=
                                                  1               �1
                1           1
�(       x�3            �      � x 4 )dx =   �x   2
                                                      dx +   �x   3
                                                                       dx +   �x
                                                                                   �8
                                                                                        dx +    �x
                                                                                                     4
                                                                                                         dx =
                    x       x8
      3         2
     x 2 x 3 x �7              2 x 3 33 x 2   1
�       �   �     � 4 x3 � C =      �       � 7 � 4x3 � C .
     3    2 �7                   3     2     7x
     2    3
                                                                                                                     1
           ������ 2. ��������� �������������� ��������                                                          � 1 � 2 x dx .
              ������ ����������
     1                                    dt    1 dt    1
� 1 � 2x    =   � 1 � 2 �, dt � �2dx = �      =       =    ln | t | �C .
                                                �2� t
         dx   t
                                         � 2t           �2
                     dt
              dx �
                    �2
        ������ 3. ��������� �������������� �������� � xe�2 x dx .

                        �������������� �� ������
                                                                                                          e �2 x
� xe dx = u � x, du � dx, dv � e dx, = u � v –                                          � vdu    =x              –
    �2 x                        �2 x

                                                                                                          �2
                  e �2 x
                        v�
                  �2
   e �2 x        xe �2 x e �2 x
–�        dx = �         �      �C.
   �2              2       4
��������������� �� ������ ����������� ��������� ����:                                                                                 � x ln x dx,
� x sin xdx , � x cos xdx , � x arcsin xdx , � x arctg dx � ��.
                                                                                                                          dx
           ������ 4. ��������� �������������� ��������                                                          �x   2
                                                                                                                                  .
                                                                                                                         � 4x � 8
                              ���� � ����������� �����
           dx                 ���������� ��������, ��                                                 dx
�x   2
                   =                           =                                    � (x   2
                                                                                                                    =
          � 4 x � 8 ���������� �������� ������                                                 � 2 x 2 � 4) � 4 � 8
                   �������
          dx           1    x�2
= �                 = arctg     �C.                               ���������� ����������� �������� ����:
    ( x � 2) 2 � 4     2     2
        dx
�                             .
      x 2 � 7 x � 15
                                                                                                                          2x � 1
           ������ 5. ��������� �������������� ��������                                                          � ( x � 1) ( x � 2) dx .
                                                                                                                            2


          2x � 1         ������������ ����� ��������������                          A
� ( x � 1) ( x � 2) dx =
            2
                         �������������
                                                                           =�
                                                                                ( x � 1)
                                                                                         dx +

       B                C               �1               �1                1
+�            dx + �          dx = �          dx + �            dx + �          dx =
   ( x � 1) 2        ( x � 2)        ( x � 1)        ( x � 1) 2        ( x � 2)


                                                                         15

Страницы