Математические уравнения в геофизике. Груздев В.Н. - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

13
ȿɫɥɢ ɱɚɫɬɧɚɹ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɚɹ ɜɵɱɢɫɥɹɟɬɫɹ ɩɨ ɯ, ɬɨ ɜɬɨɪɚɹ ɧɟɡɚɜɢɫɢɦɚɹ
ɩɟɪɟɦɟɧɧɚɹ ɭ ɫɱɢɬɚɟɬɫɹ ɩɨɫɬɨɹɧɧɨɣ ɢ ɧɚɨɛɨɪɨɬ.
Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɨɬɧɨɲɟɧɢɟ ɱɚɫɬɧɨɝɨ ɩɪɢɪɚɳɟɧɢɹ ɮɭɧɤɰɢɢ z ɩɨ
ɩɟɪɟɦɟɧɧɨɣ ɯ ɤ ɩɪɢɪɚɳɟɧɢɸ ǻɯ ɷɬɨɣ ɩɟɪɟɦɟɧɧɨɣ, ɬ. ɟ.
(,)(,)
z
f
xxyfxy
x
xx
'
'
''
. ɉɪɟɞɟɥ ɷɬɨɝɨ ɩɪɢɪɚɳɟɧɢɹ ɩɪɢ ǻɯ ĺ 0, ɟɫɥɢ ɬɚɤɨɜɨɣ
ɫɭɳɟɫɬɜɭɟɬ, ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɱɚɫɬɧɨɣ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɨɣ ɩɟɪɜɨɝɨ ɩɨɪɹɞɤɚ ɮɭɧɤɰɢɢ
z = f(x, y) ɩɨ ɯ ɢ ɨɛɨɡɧɚɱɚɟɬɫɹ
x
z
w
w
ɢɥɢ f
x
/
(x, y), ɬ. ɟ.
x
z
w
w
=
(,)(,)
lim
0
f
xxyfxy
x
x
'
'o
'
. Ⱥɧɚɥɨɝɢɱɧɨ ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɬɫɹ ɱɚɫɬɧɚɹ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɚɹ
y
z
w
w
ɢɥɢ f
ɭ
/
(x, y) ɨɬ ɮɭɧɤɰɢɢ z = f(x, y) ɩɨ ɭ:
y
z
w
w
=
(, ) (, )
lim
0
f
xy y f xy
y
y
' 
'o
'
.
ɉɨɞ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɨɣ
l
z
w
w
ɮɭɧɤɰɢɢ ɜ ɞɚɧɧɨɦ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɢɢ l ɩɨɧɢɦɚɟɬɫɹ
ɩɪɟɞɟɥ ɨɬɧɨɲɟɧɢɹ ɩɪɢɪɚɳɟɧɢɹ ɮɭɧɤɰɢɢ ɜ ɷɬɨɦ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɢɢ ɤ ɜɟɥɢɱɢɧɟ
ɩɟɪɟɦɟɳɟɧɢɹ ɩɪɢ ɭɫɥɨɜɢɢ, ɱɬɨ ɩɨɫɥɟɞɧɟɟ ɫɬɪɟɦɢɬɫɹ ɤ ɧɭɥɸ, ɬ. ɟ.
l
z
w
w
=
l
z
l
l
'
'
o' 0
lim =
x
z
w
w
cos Į +
y
z
w
w
cos ȕ. ɉɪɨɢɡɜɨɞɧɚɹ
l
z
w
w
ɞɚɟɬ ɫɤɨɪɨɫɬɶ ɢɡɦɟɧɟɧɢɹ
ɮɭɧɤɰɢɢ ɜ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɢɢ l. ɉɪɨɢɡɜɨɞɧɚɹ
l
z
w
w
ɮɭɧɤɰɢɢ ɜ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɢɢ l,
ɡɚɞɚɧɧɨɝɨ ɜɟɤɬɨɪɨɦ ɚ = ɚ
ɯ
i + ɚ
ɭ
j, ɜ ɬɨɱɤɟ Ɇ(ɯ, ɭ) ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɬɫɹ ɩɨ
ɮɨɪɦɭɥɟ:
),( yxM
l
z
w
w
=
),) yxM
x
z
w
w
cosĮ +
)( yxM
y
z
w
w
cosȕ, ɝɞɟ: cosĮ =
a
a
x
G
, cosȕ =
a
a
y
G
.
Ʌɚɛɨɪɚɬɨɪɧɚɹ ɪɚɛɨɬɚ 3 (3 ɱɚɫɚ)
Ɂɚɞɚɧɢɟ 1. ȼɵɱɢɫɥɟɧɢɟ ɧɟɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɵɯ ɢɧɬɟɝɪɚɥɨɜ.
ȼɵɱɢɫɥɢɬɶ ɧɟɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɵɟ ɢɧɬɟɝɪɚɥɵ, ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɵ ɩɪɨɜɟɪɢɬɶ
ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɪɨɜɚɧɢɟɦ. Ɂɚɞɚɧɢɟ ɜɵɞɚɟɬɫɹ ɩɪɟɩɨɞɚɜɚɬɟɥɟɦ ɫɨɝɥɚɫɧɨ
ɜɚɪɢɚɧɬɭ.
Ɍɚɛɥɢɰɚ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɵɯ ɨɫɧɨɜɧɵɯ ɷɥɟɦɟɧɬɚɪɧɵɯ ɮɭɧɤɰɢɣ.
1. (x
n
)
/
= nx
n-1
, (ɫ)
/
= 0, (x)
/
= 1, (x
2
)
/
= 2x, ( x )
/
=
x2
1
, (
x
1
)
/
= –
2
1
x
.
2. (ɚ
ɯ
)
/
= a
x
ln a, (ɟ
ɯ
)
/
= ɟ
ɯ
.
3. (log
a
x)
/
=
a
x
ln
1
, (ln x)
/
=
x
1
.
4. (f(x)
M(x)
)
/
= f(x)
M(x)
(M(x)f
/
(x)+M
/
(x)lnf(x)).
5. (ln y)
/
=
y
y
c
.
���� ������� ����������� ����������� �� �, �� ������ �����������
���������� � ��������� ���������� � ��������.
     ���������� ��������� �������� ���������� ������� z ��
����������    �    �    ����������     ��    ���� ����������, �. �.
�xz f (x ��x, y) � f (x, y)
   �                        . ������ ����� ���������� ��� �� � 0, ���� �������
�x           �x
����������, ���������� ������� ����������� ������� ������� �������
                                                                                 �z
z   =     f(x,     y)       ��          �       �   ������������                      ���       fx/(x,    y),         �. �.
                                                                                 �x
�z           f (x ��x, y) � f (x, y)
   = �xlim
         � 0                         . ���������� ������������ ������� �����������
�x                    �x
�z
                                                                            �z         f (x, y ��y) � f (x, y)
   ��� f�/(x, y) �� ������� z = f(x, y) �� �:   = lim           .
�y                                            �y �y�0   �y
                          �z
     ��� �����������         ������� � ������ ����������� l ����������
                          �l
������ ��������� ���������� ������� � ���� ����������� � ��������
����������� ��� �������, ��� ��������� ��������� � ����, �. �.
�z        � z �z     �z                   �z
   = lim l = cos � +    cos �. ����������� ���� �������� ���������
�l   �l �0 �l �x     �y                   �l
                                       �z
������� � ����������� l. �����������      ������� � ����������� l,
                                       �l
��������� ��������                     � = ��i + ��j, � ����� �(�, �) ������������ ��
         �z                   �z                         �z                                     a                 a
�������:         M ( x, y ) =      M ) x, y )   cos� +        M ( x� y )   cos�, ���: cos� = �x , cos� = �y .
         �l                   �x                         �y                                     a                 a

                                         ������������ ������ 3 (3 ����)

     ������� 1. ���������� �������������� ����������.
     ��������� �������������� ���������, ���������� ���������
������������������. ������� �������� �������������� ��������
��������.
     ������� ����������� �������� ������������ �������.
                                                                                         1           1           1
    1. (xn)/ = nxn-1, (�)/ = 0, (x)/ = 1, (x2)/ = 2x, ( x )/ =                              ,       ( )/ = –        .
                                                                                        2 x          x           x2
    2. (��)/ = ax ln a, (��)/ = ��.
                           1              1
    3. (logax)/ =              , (ln x)/ = .
                        x ln a            x
    4. (f(x)�(x))/ = f(x)�(x)(�(x)�f/(x)+�/(x)�lnf(x)).
                    y�
    5. (ln y)/ =       .
                    y


                                                              13

Страницы