Математические уравнения в геофизике. Груздев В.Н. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

12
ɜ ɬɨɱɤɟ t
0
= 2. Ɂɧɚɱɟɧɢɹ m, n, p ɜɡɹɬɶ ɢɡ ɬɚɛɥɢɰɵ 5 ɜ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɢɢ ɫ
ɜɚɪɢɚɧɬɨɦ.
ɉɨɞ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɨɣ ɜɟɤɬɨɪ – ɮɭɧɤɰɢɢ r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k
ɩɨɧɢɦɚɸɬ ɜɟɤɬɨɪ, ɪɚɜɧɵɣ
()
lim
0
dr r t
t
dt t
'
'o
'
GG
. ȿɫɥɢ ɮɭɧɤɰɢɢ x(t), y(t), z(t) –
ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɪɭɟɦɵɟ, ɬɨ ɩɪɢ
0o't
ɧɚɯɨɞɢɦ
dr dx dy dz
ijk
dt dt dt dt
G
G
GG
.
ȼɟɤɬɨɪ
dr
dt
G
ɧɚɩɪɚɜɥɟɧ ɩɨ ɤɚɫɚɬɟɥɶɧɨɣ ɤ ɤɪɢɜɨɣ ɜ ɬɨɱɤɟ Ɇ (ɜ ɫɬɨɪɨɧɭ
ɜɨɡɪɚɫɬɚɧɢɹ ɮɭɧɤɰɢɢ). Ɇɨɞɭɥɶ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɨɣ ɜɟɤɬɨɪ-ɮɭɧɤɰɢɢ ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɬɫɹ
ɜ ɜɢɞɟ:
222
() () ()
dr dx dy dz
dt dt dt dt
G
.
ɍɪɚɜɧɟɧɢɟ ɤɚɫɚɬɟɥɶɧɨɣ ɩɥɨɫɤɨɫɬɢ ɤ ɩɪɨɫɬɪɚɧɫɬɜɟɧɧɨɣ ɤɪɢɜɨɣ
r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k ɜ ɬɨɱɤɟ Ɇ
0
(ɯ
0
, ɭ
0
, z
0
) ɢɦɟɟɬ ɜɢɞ:
/
0
0
/
0
0
/
0
0
z
zz
y
yy
x
xx
, ɝɞɟ ɯ
0
= ɯ(t
0
), y
0
= y(t
0
), z
0
= z(t
0
), x
0
/
= x
/
(t
0
), y
0
/
=
= y
/
(t
0
), z
0
/
= z
/
(t
0
).
ɍɪɚɜɧɟɧɢɟ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɣ ɩɥɨɫɤɨɫɬɢ, ɬ. ɟ. ɩɥɨɫɤɨɫɬɢ, ɩɪɨɯɨɞɹɳɟɣ ɱɟɪɟɡ
ɬɨɱɤɭ ɤɚɫɚɧɢɹ ɩɟɪɩɟɧɞɢɤɭɥɹɪɧɨ ɤɚɫɚɬɟɥɶɧɨɣ ɩɥɨɫɤɨɫɬɢ, ɢɦɟɟɬ ɜɢɞ:
x
0
/
(ɯ – ɯ
0
) + y
0
/
(ɭ – ɭ
0
) + z
0
/
(z – z
0
) = 0.
Ɂɚɞɚɧɢɟ 3. ɑɚɫɬɧɵɟ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɵɟ ɢ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɵɟ ɩɨ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɢɸ.
Ɂɚɞɚɱɚ 4. ɇɚɣɬɢ: ɚ) ɱɚɫɬɧɵɟ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɵɟ ɩɟɪɜɨɝɨ ɢ ɜɬɨɪɨɝɨ ɩɨɪɹɞɤɚ
ɡɚɞɚɧɧɵɯ ɮɭɧɤɰɢɣ ɞɜɭɯ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɯ; ɛ) ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɭɸ
l
z
w
w
ɮɭɧɤɰɢɢ
z = 2(ɯ
2
+ ɭ
2
)
2
ɜ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɢɢ l, ɡɚɞɚɧɧɨɝɨ ɜɟɤɬɨɪɨɦ ɚ = mi + nj ɜ ɬɨɱɤɟ
Ɇ
0
(ɯ
0
, ɭ
0
). Ⱦɥɹ ɜɵɩɨɥɧɟɧɢɹ ɡɚɞɚɧɢɹ ɚ) ɮɭɧɤɰɢɢ ɞɜɭɯ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɯ
ɞɨɩɨɥɧɢɬɟɥɶɧɨ ɩɪɟɞɨɫɬɚɜɥɹɸɬɫɹ ɩɪɟɩɨɞɚɜɚɬɟɥɟɦ, ɚ ɞɥɹ ɜɵɩɨɥɧɟɧɢɹ
ɡɚɞɚɧɢɹ ɛ) ɡɧɚɱɟɧɢɹ m, n, x
0
, y
0
ɜɡɹɬɶ ɢɡ ɬɚɛɥɢɰɵ 5.
ɑɚɫɬɧɨɣ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ ɨɬ ɧɟɫɤɨɥɶɤɢɯ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɯ ɩɨ ɨɞɧɨɣ
ɢɡ ɷɬɢɯ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɯ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɩɪɟɞɟɥ ɨɬɧɨɲɟɧɢɹ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɟɝɨ
ɱɚɫɬɧɨɝɨ ɩɪɢɪɚɳɟɧɢɹ ɮɭɧɤɰɢɢ ɤ ɩɪɢɪɚɳɟɧɢɸ ɪɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɟɦɨɣ
ɧɟɡɚɜɢɫɢɦɨɣ ɩɟɪɟɦɟɧɧɨɣ ɩɪɢ ɭɫɥɨɜɢɢ, ɱɬɨ ɩɨɫɥɟɞɧɟɟ ɫɬɪɟɦɢɬɫɹ ɤ ɧɭɥɸ.
� ����� t0 = 2. �������� m, n, p ����� �� ������� 5 � ������������ �
���������.
       ��� ����������� ������ – ������� r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k
                                   �
                                   �
                                  dr
                                  �r ( t )
�������� ������, ������   �  lim           . ���� ������� x(t), y(t), z(t) –
                        dt �t �0 �t
                                                    �
                                                   dr dx � dy � dz �
����������������, �� ���  �t  �  0    �������         �    i �    j�     k.
                                                   dt   dt     dt     dt
               �
              dr
������             ��������� �� ����������� � ������ � ����� � (� �������
              dt
����������� �������). ������ ����������� ������-������� ������������
               �
              dr         dx 2   dy 2 dz 2
� ����:            � (      ) �( ) �( ) .
              dt         dt     dt   dt

       ��������� ����������� ��������� � ���������������� ������
r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k � ����� �0(�0, �0, z0) ����� ���:
x � x0 y � y 0 z � z 0
      �       �        , ��� �0 = �(t0), y0 = y(t0), z0 = z(t0), x0/ = x/(t0), y0/ =
  x0/    y 0/    z 0/

= y/(t0), z0/ = z/(t0).
       ��������� ���������� ���������, �. �. ���������, ���������� �����
����� ������� ��������������� ����������� ���������, ����� ���:
x0/(� – �0) + y0/(� – �0) + z0/(z – z0) = 0.
       ������� 3. ������� ����������� � ����������� �� �����������.
       ������ 4. �����: �) ������� ����������� ������� � ������� �������
                                                                     �z
�������� ������� ���� ����������; �) �����������                          �������
                                                                     �l
          2        2 2
z = 2(� + � ) � ����������� l, ��������� �������� � = mi + nj � �����
�0(�0, �0). ��� ���������� ������� �) ������� ���� ����������
������������� ��������������� ��������������, � ��� ����������
������� �) �������� m, n, x0, y0 ����� �� ������� 5.
      ������� ����������� ������� �� ���������� ���������� �� �����
�� ���� ���������� ���������� ������ ��������� ����������������
�������� ���������� ������� � ���������� ���������������
����������� ���������� ��� �������, ��� ��������� ��������� � ����.

                                               12

Страницы