Математические уравнения в геофизике. Груздев В.Н. - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

14
6. (sin x)
/
= cos x, (cos x)
/
= –sin x, (tg x)
/
=
x
2
cos
1
, (ctg x)
/
= –
x
2
sin
1
.
7. (arcsin x)
/
=
2
1
1
x
, (arccos x)
/
= –
2
1
1
x
, (arctg x)
/
=
2
1
1
x
,
(arcctg x)
/
= –
2
1
1
x
.
ȿɫɥɢ ɮɭɧɤɰɢɹ ɡɚɞɚɧɚ ɧɟɹɜɧɨ, ɬ. ɟ. F(x, y) = 0, ɬɨ ɞɥɹ ɧɚɯɨɠɞɟɧɢɹ
ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɨɣ ɬɚɤɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ ɧɭɠɧɨ ɩɪɨɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɪɨɜɚɬɶ ɨɛɟ ɱɚɫɬɢ
ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ, ɪɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɹ ɭ ɤɚɤ ɮɭɧɤɰɢɸ ɨɬ ɯ, ɚ ɡɚɬɟɦ ɢɡ ɩɨɥɭɱɟɧɧɨɝɨ
ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɧɚɣɬɢ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɭɸ.
ɂɧɬɟɝɪɚɥɵ ɨɬ ɨɫɧɨɜɧɵɯ ɷɥɟɦɟɧɬɚɪɧɵɯ ɮɭɧɤɰɢɣ.
1.
³
dx0 = C,
³
dxx
n
=
1
1
n
x
n
+ C, n z –1,
³
dx = ɯ + ɋ,
³
xdx =
2
2
x
+ ɋ,
³
dxx =
3
2
3
x
+ ɋ,
³
dx
x
1
= 2 x + ɋ,
³
dx
x
2
1
= –
x
1
+ ɋ.
2.
³
dx
x
1
= ln|x| + C,
³
dxa
x
=
a
a
x
ln
+ C, a > 0, a z 1,
³
dxe
x
= e
x
+ C.
3.
³
xdxsin = –cos x + C,
³
xdxcos = sin x + C.
4.
³
dx
x
2
1
1
= arcsin x + C = –arccos x + C,
³
dx
xa
22
1
= arcsin
a
x
+ C =
= –arccos
a
x
+ C, a > 0, –a < x < a.
5.
³
dx
x
2
1
1
= arctg x + C = -arcctg x + C,
³
dx
x
a
22
1
=
a
1
arctg
a
x
+ C =
= –
a
1
arcctg
a
x
, a z 0.
6.
³
dx
a
x
22
1
=
a2
1
ln
ax
ax
+ C, a z 0,
³
r
dx
ax
2
1
= ln| x + ax r
2
| + C, a z 0.
7.
³
dx
x
2
cos
1
= tg x + C,
³
dx
x
2
sin
1
= –ctg x + C,
³
r
dx
x
a
x
22
= r
2
1
ln|a
2
r x
2
| + C.
8.
³
r
dx
xa
x
22
=
22
xa rr + C,
³
dxxa
22
=
a
xa
xa
x
arcsin
22
2
22
+ C.
9.
³
r dxax
22
=
22
2
22
ln
22
axx
a
ax
x
rrr + C.
ɉɪɢɦɟɪ 1. ȼɵɱɢɫɥɢɬɶ ɧɟɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɵɣ ɢɧɬɟɝɪɚɥ.
³
dxx
x
x
x
)
11
(
4
8
3
.
                                                               1                     1
     6. (sin x)/ = cos x, (cos x)/ = –sin x, (tg x)/ =               , (ctg x)/ = – 2 .
                                                             cos 2 x               sin x
                                       1                             1                               1
     7. (arcsin x)/ =                      , (arccos x)/   = –                        /
                                                                                  , (arctg x) =          ,
                            1 � x2                                       1 � x2                   1 � x2
                            1
         (arcctg x)/ = –        .
                         1 � x2
     ���� ������� ������ ������, �. �. F(x, y) = 0, �� ��� ����������
����������� ����� ������� ����� ������������������� ��� �����
���������, ������������ � ��� ������� �� �, � ����� �� �����������
��������� ����� �����������.
     ��������� �� �������� ������������ �������.
                           x n �1                                             x2
1.   � 0dx =      C,       � x dx =
                               n
                                  + C, n � –1, � dx = � + �, � xdx =             + �,
                           n �1                                               2
              2 x3        1                        1       1
   � xdx = 3 + �, � x dx = 2 x + �, � x 2 dx = – x + �.
     1                              ax
2. � dx = ln|x| + C, � a x dx =         + C, a > 0, a � 1, � e x dx = ex + C.
     x                             ln a
3. � sin xdx = –cos x + C, � cos xdx = sin x + C.
          1                                                                1                     x
4.   �             dx = arcsin x + C = –arccos x + C,            �                 dx = arcsin     +C=
         1 � x2                                                          a2 � x2                 a
                        x
     = –arccos            + C, a > 0, –a < x < a.
                        a
         1                                                               1         1       x
5.   �1� x    2
                  dx = arctg x + C = -arcctg x + C,          �a      2
                                                                              dx =   arctg   + C =
                                                                         � x2      a       a
           1          x
     = – arcctg         , a � 0.
           a          a
           1           1     x�a                      1
6.   � x 2 � a 2 dx = 2a ln x � a + C, a � 0, � x 2 � a dx = ln| x + x � a | + C, a � 0.
                                                                             2



          1                          1                        x            1     2   2
7.   � cos2 x dx = tg x + C, � sin 2 x dx = –ctg x + C, � a 2 � x 2 dx = � 2 ln|a � x | + C.
             x                                          x 2            a2       x
8.   � a 2 � x 2 dx = � a � x + C, � a � x dx = 2 a � x � 2 arcsin a + C.
                              2    2         2    2                 2



                        x 2            a2
9.   � x � a dx = 2 x � a � 2 ln x � x � a + C.
           2     2               2              2   2




         ������ 1. ��������� �������������� ��������.
             1        1
�(   x�3          �      � x 4 )dx .
              x       x8




                                                     14

Страницы