Математические уравнения в геофизике. Груздев В.Н. - 16 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

16
= –ln|x ––1| +
1
1
x
+ ln|x – 2| + C.
ɇɚɯɨɞɹɬɫɹ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɵ Ⱥ, B, C:
2
)1(
1
2
x
C
x
B
x
A
=
=
)2()1(
2223
2
22
xx
CCxCxBBxAAxAx
)2()1(
)1()2()2)(1(
2
2
xx
xCxBxxA
122
023
0
0
1
2
CBAx
CBAx
CAx
°
¯
°
®
12
0
BC
BC
CA
°
¯
°
®
1
1
1
B
C
A
.
ɉɪɢɦɟɪ 6. ȼɵɱɢɫɥɢɬɶ ɧɟɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɵɣ ɢɧɬɟɝɪɚɥ:
³
xdx
2
sin .
³
xdx
2
sin =
³
dx
x
2
2cos1
=
³
dx
2
1
³
dx
x
2
2cos
=
x
2
1
Cx 2sin
4
1
(ɩɪɢ
ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɢ ɚɧɚɥɨɝɢɱɧɵɯ ɢɧɬɟɝɪɚɥɨɜ ɢɫɩɨɥɶɡɭɸɬɫɹ ɬɪɢɝɨɧɨɦɟɬɪɢɱɟɫɤɢɟ
ɮɨɪɦɭɥɵ ɩɨɧɢɠɟɧɢɹ ɫɬɟɩɟɧɢ: sin
2
x =
2
2cos1 x
ɢ cos
2
x =
2
2cos1 x
).
ɉɪɢɦɟɪ 7. ȼɵɱɢɫɥɢɬɶ ɧɟɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɵɣ ɢɧɬɟɝɪɚɥ:
³
dx
x
x
3
cos
sin
.
³
dx
x
x
3
cos
sin
=
³
x
xd
3
cos
)(cos
= C
x
2
cos
2
= C
x
2
cos2
1
.
ɉɪɢɦɟɪ 8. ȼɵɱɢɫɥɢɬɶ ɧɟɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɵɣ ɢɧɬɟɝɪɚɥ:
³
xdxx cossin .
³
xdxx 3cossin =
³
dxxx ))4sin()2(sin(
2
1
=
³
xdx2sin
2
1
+
³
xdx4sin
2
1
=
)2cos(
4
1
x
Cx )4sin(
8
1
. ɉɪɢ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɢ ɚɧɚɥɨɝɢɱɧɵɯ ɢɧɬɟɝɪɚɥɨɜ ɢɫɩɨɥɶɡɭɸɬɫɹ
ɬɪɢɝɨɧɨɦɟɬɪɢɱɟɫɤɢɟ ɮɨɪɦɭɥɵ: sin x ǜ cos y =
2
1
[sin(x – y) + sin(x + y)];
sin x ǜ sin y =
2
1
[cos(x – y) – cos(x + y)]; cos xǜcos y =
2
1
[cos(x – y) + cos(x + y)].
Ɂɚɞɚɧɢɟ 2. ȼɵɱɢɫɥɟɧɢɟ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɵɯ ɢɧɬɟɝɪɚɥɨɜ.
ȼɵɱɢɫɥɢɬɶ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɵɟ ɢɧɬɟɝɪɚɥɵ. Ɂɚɞɚɧɢɟ ɜɵɞɚɟɬɫɹ
ɩɪɟɩɨɞɚɜɚɬɟɥɟɦ ɫɨɝɥɚɫɧɨ ɜɚɪɢɚɧɬɭ.
ɉɪɢ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɢ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɨɝɨ ɢɧɬɟɝɪɚɥɚ ɪɟɲɟɧɢɟ ɡɚɩɢɫɵɜɚɟɬɫɹ ɜ
ɜɢɞɟ ɮɨɪɦɭɥɵ ɇɶɸɬɨɧɚɅɟɣɛɧɢɰɚ:
³
b
a
dxxf )(
= F(x)
b
a
= F(b) – F(a).
Ɂɚɞɚɧɢɟ 3. ȼɵɱɢɫɥɟɧɢɟ ɧɟɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɯ ɢɧɬɟɝɪɚɥɨɜ.
ȼɵɱɢɫɥɢɬɶ ɧɟɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɟ ɢɧɬɟɝɪɚɥɵ. Ɂɚɞɚɧɢɟ ɜɵɞɚɟɬɫɹ
ɩɪɟɩɨɞɚɜɚɬɟɥɟɦ ɫɨɝɥɚɫɧɨ ɜɚɪɢɚɧɬɭ.
ɇɟɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɦ ɢɧɬɟɝɪɚɥɨɦ
³
f
a
dxxf )(
ɨɬ ɮɭɧɤɰɢɢ f(x) ɧɚ
ɩɨɥɭɢɧɬɟɪɜɚɥɟ [a, +f) ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɩɪɟɞɟɥ ɮɭɧɤɰɢɢ ɩɪɢ t, ɫɬɪɟɦɹɳɟɦɫɹ
                           1
= –ln|x ––1| +                + ln|x – 2| + C.
                         x �1
                                                         A       B       C
��������� ������������ �, B, C:                             �          �      =
                                                       x � 1 ( x � 1) 2 x � 2
    Ax 2 � 3 Ax � 2 A � Bx � 2 B � Cx 2 � 2Cx � C
=
                    ( x � 1) 2 ( x � 2)
                                                  x2 A � C � 0
                                              2
                                                                    � A � �C        � A � �1
A( x � 1)( x � 2) � B( x � 2) � C ( x � 1) 1                        �               �
                                           x   � 3 A � B � 2C � 0 � �C  � B � 0   � �C � 1 .
              ( x � 1) 2 ( x � 2)                                   �               �
                                           x 0 2 A � 2B � C � 1     �� C � 2 B � 1 � B � �1

            ������ 6. ��������� �������������� ��������: � sin 2 xdx .
                        1 � cos 2 x          1                    cos 2 x        1           1
� sin
        2
            xdx =   �               dx =    � 2 dx    –       �           dx =     x     –     sin 2 x � C     (���
                             2                                      2            2           4
���������� ����������� ���������� ������������ ������������������
                                       1 � cos 2 x            1 � cos 2 x
������� ��������� �������: sin2x =                 � cos2 x =             ).
                                            2                      2
                                                                sin x
         ������ 7. ��������� �������������� ��������: � 3 dx .
                                                               cos x
   sin x        � d (cos x) � cos �2 x   1
� cos 3 x dx = � cos 3 x = � 2 � C = 2 cos 2 x � C .
         ������ 8. ��������� �������������� ��������: � sin x � cos xdx .
                             1                              �1             1             1
� sin x � cos 3xdx       =      (sin(�2 x) � sin( 4 x))dx =     sin 2 xdx + � sin 4 xdx = cos(2 x) –
                             2�                             2 �            2             4
    1
–     sin( 4 x) � C . ��� ���������� ����������� ���������� ������������
    8
                                                    1
������������������ �������: sin x � cos y = [sin(x – y) + sin(x + y)];
                                                    2
                    1                                   1
sin x � sin y = [cos(x – y) – cos(x + y)]; cos x�cos y = [cos(x – y) + cos(x + y)].
                    2                                   2
     ������� 2. ���������� ������������ ����������.
     ���������     ������������     ���������.   �������  ��������
�������������� �������� ��������.
     ��� ���������� ������������� ��������� ������� ������������ �
                                                          b
���� ������� ������� – ��������: � f ( x)dx = F(x)                                b
                                                                                  a    = F(b) – F(a).
                                                          a

     ������� 3. ���������� ������������� ����������.
     ���������     �������������    ���������.   �������                                                ��������
�������������� �������� ��������.
                                                                   ��
            �������������                  ����������              � f ( x)dx    ��      �������        f(x)    ��
                                                                   a

������������� [a, +�) ���������� ������ ������� ��� t, �����������

                                                          16