ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
18
ɧɟɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɯ ɢɧɬɟɝɪɚɥɚ, ɜ ɩɪɨɬɢɜɧɨɦ ɫɥɭɱɚɟ ɢɧɬɟɝɪɚɥ
³
b
a
dxxf )(
ɛɭɞɟɬ
ɪɚɫɯɨɞɹɳɢɦɫɹ.
ɉɪɢɦɟɪ 1. ȼɵɱɢɫɥɢɬɶ ɧɟɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɣ ɢɧɬɟɝɪɚɥ
³
f
1
2
1
dx
x
.
³
f
1
2
1
dx
x
=
³
fo
b
b
dx
x
1
2
1
lim
=
b
b
x
1
)
1
(lim
fo
= 1)1
1
(lim
fo
b
b
.
ɉɪɢɦɟɪ 2. ȼɵɱɢɫɥɢɬɶ ɧɟɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɣ ɢɧɬɟɝɪɚɥ
³
1
0
1
dx
x
.
³
1
0
1
dx
x
=
³
o
1
0
1
lim
H
H
dx
x
=
1
0
)2(lim
H
H
x
o
= )212(lim
0
H
H
o
= 2.
Ʌɚɛɨɪɚɬɨɪɧɚɹ ɪɚɛɨɬɚ 4 (3 ɱɚɫɚ)
Ɂɚɞɚɧɢɟ 1. ȼɵɱɢɫɥɟɧɢɹ ɝɪɚɞɢɟɧɬɚ ɮɭɧɤɰɢɢ.
ȿɫɥɢ ɜ ɤɚɠɞɨɣ ɬɨɱɤɟ ɧɟɤɨɬɨɪɨɣ ɨɛɥɚɫɬɢ ɡɚɞɚɧ ɧɟɤɨɬɨɪɵɣ ɫɤɚɥɹɪ, ɬɨ
ɜ ɞɚɧɧɨɣ ɨɛɥɚɫɬɢ ɛɭɞɟɬ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɨ ɫɤɚɥɹɪɧɨɟ ɩɨɥɟ. ɉɥɨɫɤɨɟ ɫɤɚɥɹɪɧɨɟ
ɩɨɥɟ ɦɨɠɧɨ ɡɚɜɢɫɚɬɶ ɜ ɜɢɞɟ u = f(x, y). Ⱦɥɹ ɨɛɥɚɫɬɢ, ɧɚɯɨɞɹɳɟɣɫɹ ɜ
ɩɪɨɫɬɪɚɧɫɬɜɟ ɈɏɍZ, ɫɤɚɥɹɪɧɨɟ ɩɨɥɟ ɦɨɠɧɨ ɡɚɩɢɫɚɬɶ ɜ ɜɢɞɟ: u = f(x, y, z).
ȿɫɥɢ ɞɥɹ ɤɚɠɞɨɣ ɬɨɱɤɢ Ɇ, ɩɪɢɧɚɞɥɟɠɚɳɟɣ
ɧɟɤɨɬɨɪɨɣ ɨɛɥɚɫɬɢ, ɡɚɞɚɧ
ɜɟɤɬɨɪ ɚ = F(Ɇ), ɬɨ ɝɨɜɨɪɹɬ ɜ ɷɬɨɣ ɨɛɥɚɫɬɢ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɨ ɜɟɤɬɨɪɧɨɟ ɩɨɥɟ,
Ⱦɥɹ ɫɥɭɱɚɹ ɩɥɨɫɤɨɝɨ ɜɟɤɬɨɪɧɨɝɨ ɩɨɥɹ, ɬ. ɟ. ɨɛɥɚɫɬɶ ɧɚɯɨɞɢɬɫɹ ɧɚ ɩɥɨɫɤɨɫɬɢ
Ɉɏɍ, ɜɟɤɬɨɪɧɚɹ ɮɭɧɤɰɢɹ ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɬɫɹ ɜ ɜɢɞɟ ɚ = F(ɯ, ɭ). ɉɟɪɟɯɨɞɹ ɤ
ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɚɦ ɜɟɤɬɨɪɚ ɚ, ɩɨɥɭɱɢɦ ɚ
ɯ
= F
x
(ɯ, ɭ) ɢɚ
ɭ
= F
y
(ɯ, ɭ) Ⱦɥɹ ɫɥɭɱɚɹ
ɩɪɨɫɬɪɚɧɫɬɜɟɧɧɨɝɨ ɜɟɤɬɨɪɧɨɝɨ ɩɨɥɹ ɢɦɟɟɦ: ɚ = F(ɯ, ɭ, z) ɢɥɢ ɜ
ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɚɯ: ɚ
ɯ
= F
x
(ɯ, ɭ, z), ɚ
ɭ
= F
y
(ɯ, ɭ, z), ɚ
z
= F
z
(ɯ, ɭ, z).
Ɇɧɨɠɟɫɬɜɨ ɜɫɟɯ ɬɨɱɟɤ Ɇ, ɞɥɹ ɤɨɬɨɪɵɯ ɫɤɚɥɹɪɧɨɟ ɩɨɥɟ ɫɨɯɪɚɧɹɟɬ
ɩɨɫɬɨɹɧɧɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ, ɬ. ɟ. f(M) = const, ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɶɸ (ɢɥɢ
ɥɢɧɢɟɣ) ɭɪɨɜɧɹ ɫɤɚɥɹɪɧɨɝɨ ɩɨɥɹ (ɷɤɜɢɩɨɬɟɧɰɢɚɥɶɧɚɹ ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɶ).
ɉɭɫɬɶ u = f(x, y) – ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɪɭɟɦɨɟ ɩɥɨɫɤɨɟ ɫɤɚɥɹɪɧɨɟ ɩɨɥɟ. Ɍɨɝɞɚ
ɜɟɤɬɨɪ grad u = {
y
u
x
u
w
w
w
w
, } ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɝɪɚɞɢɟɧɬɨɦ ɩɨɥɹ ɢ ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɬɫɹ ɩɨ
ɮɨɪɦɭɥɟ: grad u =
y
u
j
x
u
i
w
w
w
w
G
G
, ɝɞɟ i ɢ j – ɟɞɢɧɢɱɧɵɟ ɜɟɤɬɨɪɵ, ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɧɵɟ
ɩɨ ɨɫɹɦ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬ Ɉɏ ɢ Ɉɍ. Ⱥɧɚɥɨɝɢɱɧɨ, ɞɥɹ ɩɪɨɫɬɪɚɧɫɬɜɟɧɧɨɝɨ
ɫɤɚɥɹɪɧɨɝɨ ɩɨɥɹ u = f(x,y,z) ɟɝɨ ɝɪɚɞɢɟɧɬ ɟɫɬɶ ɜɟɤɬɨɪ grad u = {
z
u
y
u
x
u
w
w
w
w
w
w
,, },
ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɦɵɣ ɩɨ ɮɨɪɦɭɥɟ: grad u =
z
u
k
y
u
j
x
u
i
w
w
w
w
w
w
G
G
G
. Ƚɪɚɞɢɟɧɬ ɫɤɚɥɹɪɧɨɝɨ
ɩɨɥɹ ɜ ɞɚɧɧɨɣ ɬɨɱɤɟ Ɇ ɩɨ ɦɨɞɭɥɸ ɢ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɢɸ ɪɚɜɟɧ ɦɚɤɫɢɦɚɥɶɧɨɣ
b
������������� ���������, � ��������� ������ �������� � f ( x)dx �����
a
������������.
��
1
������ 1. ��������� ������������� �������� � dx .
1
x2
�� b
1 1 1 1
�1 x 2 dx = blim
�� � x 2
1
dx = lim(� ) 1b = lim(� � 1) � 1 .
b �� x b �� b
1
1
������ 2. ��������� ������������� �������� � dx .
0 x
1 1
1 1
� dx = lim � dx = lim(2 x ) 1� = lim(2 1 � 2 � ) = 2.
0 x � �0
� x � �0 � �0
������������ ������ 4 (3 ����)
������� 1. ���������� ��������� �������.
���� � ������ ����� ��������� ������� ����� ��������� ������, ��
� ������ ������� ����� ���������� ��������� ����. ������� ���������
���� ����� �������� � ���� u = f(x, y). ��� �������, ����������� �
������������ ���Z, ��������� ���� ����� �������� � ����: u = f(x, y, z).
���� ��� ������ ����� �, ������������� ��������� �������, �����
������ � = F(�), �� ������� � ���� ������� ���������� ��������� ����,
��� ������ �������� ���������� ����, �. �. ������� ��������� �� ���������
���, ��������� ������� ������������ � ���� � = F(�, �). �������� �
����������� ������� �, ������� �� = Fx(�, �) � �� = Fy(�, �) ��� ������
����������������� ���������� ���� �����: � = F(�, �, z) ��� �
�����������: �� = Fx(�, �, z), �� = Fy(�, �, z), �z = Fz(�, �, z).
��������� ���� ����� �, ��� ������� ��������� ���� ���������
���������� ��������, �. �. f(M) = const, ���������� ������������ (���
������) ������ ���������� ���� (����������������� �����������).
����� u = f(x, y) – ���������������� ������� ��������� ����. �����
�u �u
������ grad u = { , } ���������� ���������� ���� � ������������ ��
�x �y
� �u � �u
�������: grad u = i � j , ��� i � j – ��������� �������, ������������
�x �y
�� ���� ��������� �� � ��. ����������, ��� �����������������
�u �u �u
���������� ���� u = f(x,y,z) ��� �������� ���� ������ grad u = { , , },
�x �y �z
� �u � �u � �u
������������ �� �������: grad u = i � j �k . �������� ����������
�x �y �z
���� � ������ ����� � �� ������ � ����������� ����� ������������
18
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 16
- 17
- 18
- 19
- 20
- …
- следующая ›
- последняя »
