Математические уравнения в геофизике. Груздев В.Н. - 18 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

18
ɧɟɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɯ ɢɧɬɟɝɪɚɥɚ, ɜ ɩɪɨɬɢɜɧɨɦ ɫɥɭɱɚɟ ɢɧɬɟɝɪɚɥ
³
b
a
dxxf )(
ɛɭɞɟɬ
ɪɚɫɯɨɞɹɳɢɦɫɹ.
ɉɪɢɦɟɪ 1. ȼɵɱɢɫɥɢɬɶ ɧɟɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɣ ɢɧɬɟɝɪɚɥ
³
f
1
2
1
dx
x
.
³
f
1
2
1
dx
x
=
³
fo
b
b
dx
x
1
2
1
lim
=
b
b
x
1
)
1
(lim
fo
= 1)1
1
(lim
fo
b
b
.
ɉɪɢɦɟɪ 2. ȼɵɱɢɫɥɢɬɶ ɧɟɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɣ ɢɧɬɟɝɪɚɥ
³
1
0
1
dx
x
.
³
1
0
1
dx
x
=
³
o
1
0
1
lim
H
H
dx
x
=
1
0
)2(lim
H
H
x
o
= )212(lim
0
H
H
o
= 2.
Ʌɚɛɨɪɚɬɨɪɧɚɹ ɪɚɛɨɬɚ 4 (3 ɱɚɫɚ)
Ɂɚɞɚɧɢɟ 1. ȼɵɱɢɫɥɟɧɢɹ ɝɪɚɞɢɟɧɬɚ ɮɭɧɤɰɢɢ.
ȿɫɥɢ ɜ ɤɚɠɞɨɣ ɬɨɱɤɟ ɧɟɤɨɬɨɪɨɣ ɨɛɥɚɫɬɢ ɡɚɞɚɧ ɧɟɤɨɬɨɪɵɣ ɫɤɚɥɹɪ, ɬɨ
ɜ ɞɚɧɧɨɣ ɨɛɥɚɫɬɢ ɛɭɞɟɬ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɨ ɫɤɚɥɹɪɧɨɟ ɩɨɥɟ. ɉɥɨɫɤɨɟ ɫɤɚɥɹɪɧɨɟ
ɩɨɥɟ ɦɨɠɧɨ ɡɚɜɢɫɚɬɶ ɜ ɜɢɞɟ u = f(x, y). Ⱦɥɹ ɨɛɥɚɫɬɢ, ɧɚɯɨɞɹɳɟɣɫɹ ɜ
ɩɪɨɫɬɪɚɧɫɬɜɟ ɈɏɍZ, ɫɤɚɥɹɪɧɨɟ ɩɨɥɟ ɦɨɠɧɨ ɡɚɩɢɫɚɬɶ ɜ ɜɢɞɟ: u = f(x, y, z).
ȿɫɥɢ ɞɥɹ ɤɚɠɞɨɣ ɬɨɱɤɢ Ɇ, ɩɪɢɧɚɞɥɟɠɚɳɟɣ
ɧɟɤɨɬɨɪɨɣ ɨɛɥɚɫɬɢ, ɡɚɞɚɧ
ɜɟɤɬɨɪ ɚ = F(Ɇ), ɬɨ ɝɨɜɨɪɹɬ ɜ ɷɬɨɣ ɨɛɥɚɫɬɢ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɨ ɜɟɤɬɨɪɧɨɟ ɩɨɥɟ,
Ⱦɥɹ ɫɥɭɱɚɹ ɩɥɨɫɤɨɝɨ ɜɟɤɬɨɪɧɨɝɨ ɩɨɥɹ, ɬ. ɟ. ɨɛɥɚɫɬɶ ɧɚɯɨɞɢɬɫɹ ɧɚ ɩɥɨɫɤɨɫɬɢ
Ɉɏɍ, ɜɟɤɬɨɪɧɚɹ ɮɭɧɤɰɢɹ ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɬɫɹ ɜ ɜɢɞɟ ɚ = F(ɯ, ɭ). ɉɟɪɟɯɨɞɹ ɤ
ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɚɦ ɜɟɤɬɨɪɚ ɚ, ɩɨɥɭɱɢɦ ɚ
ɯ
= F
x
(ɯ, ɭ) ɢɚ
ɭ
= F
y
(ɯ, ɭ) Ⱦɥɹ ɫɥɭɱɚɹ
ɩɪɨɫɬɪɚɧɫɬɜɟɧɧɨɝɨ ɜɟɤɬɨɪɧɨɝɨ ɩɨɥɹ ɢɦɟɟɦ: ɚ = F(ɯ, ɭ, z) ɢɥɢ ɜ
ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɚɯ: ɚ
ɯ
= F
x
(ɯ, ɭ, z), ɚ
ɭ
= F
y
(ɯ, ɭ, z), ɚ
z
= F
z
(ɯ, ɭ, z).
Ɇɧɨɠɟɫɬɜɨ ɜɫɟɯ ɬɨɱɟɤ Ɇ, ɞɥɹ ɤɨɬɨɪɵɯ ɫɤɚɥɹɪɧɨɟ ɩɨɥɟ ɫɨɯɪɚɧɹɟɬ
ɩɨɫɬɨɹɧɧɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ, ɬ. ɟ. f(M) = const, ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɶɸ (ɢɥɢ
ɥɢɧɢɟɣ) ɭɪɨɜɧɹ ɫɤɚɥɹɪɧɨɝɨ ɩɨɥɹ (ɷɤɜɢɩɨɬɟɧɰɢɚɥɶɧɚɹ ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɶ).
ɉɭɫɬɶ u = f(x, y) – ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɪɭɟɦɨɟ ɩɥɨɫɤɨɟ ɫɤɚɥɹɪɧɨɟ ɩɨɥɟ. Ɍɨɝɞɚ
ɜɟɤɬɨɪ grad u = {
y
u
x
u
w
w
w
w
, } ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɝɪɚɞɢɟɧɬɨɦ ɩɨɥɹ ɢ ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɬɫɹ ɩɨ
ɮɨɪɦɭɥɟ: grad u =
y
u
j
x
u
i
w
w
w
w
G
G
, ɝɞɟ i ɢ jɟɞɢɧɢɱɧɵɟ ɜɟɤɬɨɪɵ, ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɧɵɟ
ɩɨ ɨɫɹɦ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬ Ɉɏ ɢ Ɉɍ. Ⱥɧɚɥɨɝɢɱɧɨ, ɞɥɹ ɩɪɨɫɬɪɚɧɫɬɜɟɧɧɨɝɨ
ɫɤɚɥɹɪɧɨɝɨ ɩɨɥɹ u = f(x,y,z) ɟɝɨ ɝɪɚɞɢɟɧɬ ɟɫɬɶ ɜɟɤɬɨɪ grad u = {
z
u
y
u
x
u
w
w
w
w
w
w
,, },
ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɦɵɣ ɩɨ ɮɨɪɦɭɥɟ: grad u =
z
u
k
y
u
j
x
u
i
w
w
w
w
w
w
G
G
G
. Ƚɪɚɞɢɟɧɬ ɫɤɚɥɹɪɧɨɝɨ
ɩɨɥɹ ɜ ɞɚɧɧɨɣ ɬɨɱɤɟ Ɇ ɩɨ ɦɨɞɭɥɸ ɢ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɢɸ ɪɚɜɟɧ ɦɚɤɫɢɦɚɥɶɧɨɣ
                                                                                    b
������������� ���������, � ��������� ������ ��������                                � f ( x)dx   �����
                                                                                    a

������������.
                                                                     ��
                                                                          1
         ������ 1. ��������� ������������� �������� �                        dx .
                                                                     1
                                                                          x2
��              b
   1               1             1            1
�1 x 2 dx = blim
              �� � x 2
                 1
                       dx = lim(� ) 1b = lim(� � 1) � 1 .
                            b �� x       b �� b
                                                                     1
                                                                          1
         ������ 2. ��������� ������������� ��������                  �       dx .
                                                                     0     x
1                   1
     1              1
�       dx = lim �     dx = lim(2 x ) 1� = lim(2 1 � 2 � ) = 2.
0     x      � �0
                  �  x      � �0           � �0




                               ������������ ������ 4 (3 ����)

     ������� 1. ���������� ��������� �������.
     ���� � ������ ����� ��������� ������� ����� ��������� ������, ��
� ������ ������� ����� ���������� ��������� ����. ������� ���������
���� ����� �������� � ���� u = f(x, y). ��� �������, ����������� �
������������ ���Z, ��������� ���� ����� �������� � ����: u = f(x, y, z).
     ���� ��� ������ ����� �, ������������� ��������� �������, �����
������ � = F(�), �� ������� � ���� ������� ���������� ��������� ����,
��� ������ �������� ���������� ����, �. �. ������� ��������� �� ���������
���, ��������� ������� ������������ � ���� � = F(�, �). �������� �
����������� ������� �, ������� �� = Fx(�, �) � �� = Fy(�, �) ��� ������
����������������� ���������� ���� �����: � = F(�, �, z) ��� �
�����������: �� = Fx(�, �, z), �� = Fy(�, �, z), �z = Fz(�, �, z).
     ��������� ���� ����� �, ��� ������� ��������� ���� ���������
���������� ��������, �. �. f(M) = const, ���������� ������������ (���
������) ������ ���������� ���� (����������������� �����������).
     ����� u = f(x, y) – ���������������� ������� ��������� ����. �����
                  �u �u
������ grad u = {    , } ���������� ���������� ���� � ������������ ��
                  �x �y
                  � �u � �u
�������: grad u = i � j , ��� i � j – ��������� �������, ������������
                    �x   �y
�� ���� ��������� �� � ��. ����������, ��� �����������������
                                                                                        �u �u �u
���������� ���� u = f(x,y,z) ��� �������� ���� ������ grad u = {                          , ,    },
                                                                                        �x �y �z
                                                 � �u      � �u � �u
������������ �� �������: grad u = i                      � j    �k    . �������� ����������
                                                    �x       �y    �z
���� � ������ ����� � �� ������ � ����������� ����� ������������


                                               18