Математические уравнения в геофизике. Груздев В.Н. - 20 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

20
ɜɟɤɬɨɪɚ ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɬɫɹ ɩɨ ɮɨɪɦɭɥɚɦ: Q =
³³
S
Sda
G
G
ɢɥɢ Q =
³³
S
n
dSa ɢɥɢ
Q =
³³
S
zyx
dxdyadxdzadydza )( ɢɥɢ Q =
³³
S
(a
x
ǜ cos(n,x) + a
y
ǜ cos(n,y) +
+ a
z
ǜ cos(n,z))dS, ɝɞɟ ɚ
n
ɩɪɨɟɤɰɢɹ ɜɟɤɬɨɪɚ ɚ ɧɚ ɧɨɪɦɚɥɶ n ɢ ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɬɫɹ
ɩɨ ɮɨɪɦɭɥɟ: ɚ
n
= a
x
ǜ cos(n,x) + a
y
ǜ cos(n,y) + a
z
ǜ cos(n,z), cos(n,x), cos(n,y),
cos(n,z) – ɧɚɩɪɚɜɥɹɸɳɢɟ ɤɨɫɢɧɭɫɵ ɧɨɪɦɚɥɢ ɤ ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɢ S.
ȿɫɥɢ ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɶ S ɡɚɦɤɧɭɬɚɹ ɢ Q > 0, ɬ. ɟ. ɢɡ ɨɛɴɟɦɚ ɜɵɯɨɞɢɬ
ɫɢɥɨɜɵɯ ɥɢɧɢɣ ɛɨɥɶɲɟ, ɱɟɦ ɜɯɨɞɢɬ, ɢ ɩɨɬɨɤ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɨɛɢɥɶɧɨɫɬɶɸ
ɢɫɬɨɱɧɢɤɚ. ȿɫɥɢ ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɶ S ɡɚɦɤɧɭɬɚɹ ɢ Q < 0, ɬ. ɟ. ɫɢɥɨɜɵɯ ɥɢɧɢɣ
ɜɵɯɨɞɢɬ ɦɟɧɶɲɟ, ɱɟɦ ɜɯɨɞɢɬ (ɨɬɪɢɰɚɬɟɥɶɧɚɹ ɨɛɢɥɶɧɨɫɬɶ ɢɥɢ ɫɬɨɤ). ȿɫɥɢ
ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɶ S ɡɚɦɤɧɭɬɚɹ ɢ Q = 0, ɪɚɜɟɧɫɬɜɨ ɜɵɯɨɞɹɳɢɯ ɢ ɜɯɨɞɹɳɢɯ
ɫɢɥɨɜɵɯ ɥɢɧɢɣ.
ɉɪɟɞɟɥ ɨɬɧɨɲɟɧɢɹ ɩɨɬɨɤɚ ɜɟɤɬɨɪɚ ɱɟɪɟɡ ɡɚɦɤɧɭɬɭɸ ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɶ ɤ
ɜɟɥɢɱɢɧɟ ɨɬɝɪɚɧɢɱɟɧɧɨɝɨ ɨɛɴɟɦɚ, ɤɨɝɞɚ ɨɧ ɫɬɹɝɢɜɚɟɬɫɹ ɜ ɬɨɱɤɭ, ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ
ɞɢɜɟɪɝɟɧɰɢɟɣ ɢɥɢ ɪɚɫɯɨɞɢɦɨɫɬɶɸ ɜɟɤɬɨɪɚ ɜ ɞɚɧɧɨɣ ɬɨɱɤɟ ɢ ɨɛɨɡɧɚɱɚɟɬɫɹ
div a, ɬ. ɟ. div a(p) =
W
W
'
³³
o'
S
P
sda
GG
lim
.
Ⱦɢɜɟɪɝɟɧɰɢɹɫɤɚɥɹɪɧɚɹ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɚ ɜɟɤɬɨɪɧɨɝɨ ɩɨɥɹ. Ɉɧɚ
ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɬ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɨ ɜɟɤɬɨɪɧɵɯ ɥɢɧɢɣ, ɧɚɱɢɧɚɸɳɢɯɫɹ ɜ ɛɟɫɤɨɧɟɱɧɨ
ɦɚɥɨɦ ɨɛɴɟɦɟ, ɬ. ɟ. ɞɢɜɟɪɝɟɧɰɢɹ ɢɦɟɟɬ ɫɦɵɫɥ ɩɥɨɬɧɨɫɬɢ ɢɫɬɟɱɟɧɢɹ
ɜɟɤɬɨɪɧɵɯ ɥɢɧɢɣ ɢɡ ɬɨɱɤɢ. Ɉɧɚ ɦɨɠɟɬ ɛɵɬɶ ɩɨɥɨɠɢɬɟɥɶɧɨɣ (ɜ ɬɨɱɤɟ
ɧɚɯɨɞɢɬɫɹ ɢɫɬɨɱɧɢɤ ɩɨɥɹ), ɨɬɪɢɰɚɬɟɥɶɧɨɣ (ɧɚɯɨɞɢɬɫɹ ɫɬɨɤ) ɢɥɢ ɪɚɜɧɨɣ
ɧɭɥɸ (ɢɫɬɨɱɧɢɤɨɜ ɢ ɫɬɨɤɨɜ ɧɟɬ). ɑɢɫɥɟɧɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ ɞɢɜɟɪɝɟɧɰɢɢ
ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɡɭɟɬ ɩɥɨɬɧɨɫɬɶ ɢɫɬɨɱɧɢɤɚ.
ɇɚ ɩɪɚɤɬɢɤɟ ɞɢɜɟɪɝɟɧɰɢɸ ɭɞɨɛɧɟɟ ɧɚɯɨɞɢɬɶ ɫɥɟɞɭɸɳɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ:
div a =
z
a
y
a
x
a
z
y
x
w
w
w
w
w
w
. ɉɨɥɟ, ɜ ɤɨɬɨɪɨɦ div a = 0, ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ
ɫɨɥɟɧɨɢɞɚɥɶɧɵɦ.
ɋɜɨɣɫɬɜɚ ɞɢɜɟɪɝɟɧɰɢɢ: div (a + b) = div a + div b; div (ua) = u ǜ div a +
+ gradu ǜ a$ div (ca) = c ǜ div a, ɝɞɟ ɫɤɨɧɫɬɚɧɬɚ.
Ⱦɢɜɟɪɝɟɧɰɢɹ ɜɟɤɬɨɪɚ ɢ ɩɨɬɨɤ ɜɟɤɬɨɪɚ ɫɜɹɡɚɧɵ ɦɟɠɞɭ ɫɨɛɨɣ
ɮɨɪɦɭɥɨɣ ɈɫɬɪɨɝɪɚɞɫɤɨɝɨȽɚɭɫɫɚ. Ɉɧɚ ɝɥɚɫɢɬ: ɩɨɬɨɤ ɜɟɤɬɨɪɚ ɚ ɱɟɪɟɡ
ɡɚɦɤɧɭɬɭɸ ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɶ S ɪɚɜɟɧ ɢɧɬɟɝɪɚɥɭ ɨɬ ɞɢɜɟɪɝɟɧɰɢɢ, ɜɡɹɬɨɦɭ ɩɨ
ɨɛɴɟɦɭ V, ɨɝɪɚɧɢɱɟɧɧɨɦɭ ɞɚɧɧɨɣ
ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɶɸ S, ɬ. ɟ.
³³³³³
VS
dadivSda
W
G
G
G
.
Ɏɨɪɦɭɥɚ ɈɫɬɪɨɝɪɚɞɫɤɨɝɨȽɚɭɫɫɚ ɩɪɢɦɟɧɹɟɬɫɹ ɞɥɹ ɩɪɟɨɛɪɚɡɨɜɚɧɢɹ
ɢɧɬɟɝɪɚɥɚ ɩɨ ɨɛɴɟɦɭ ɜ ɢɧɬɟɝɪɚɥ ɩɨ ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɢ, ɨɝɪɚɧɢɱɢɜɚɸɳɟɣ ɷɬɨɬ
ɨɛɴɟɦ.
Ɂɚɞɚɱɚ 2. ɇɚɣɬɢ ɡɧɚɱɟɧɢɟ F
n
ɢ ɩɨɬɨɤ ɜɟɤɬɨɪɚ ɫɢɥɵ ɩɪɢɬɹɠɟɧɢɹ
r
r
M
fF
G
G
3
ɱɟɪɟɡ ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɶ ɫɮɟɪɵ ɪɚɞɢɭɫɚ R ɫ ɰɟɧɬɪɨɦ ɜ ɧɚɱɚɥɟ
                                                                       �   �
������� ������������ �� ��������: Q =                             �� a � dS    ��� Q =   �� a dS
                                                                                             n     ���
                                                                   S                     S

Q =   �� (a dydz � a
          x            y   dxdz � a z dxdy ) ��� Q =         ��   (ax � cos(n,x) + ay � cos(n,y) +
      S                                                      S

+ az � cos(n,z))dS, ��� �n – �������� ������� � �� ������� n � ������������
�� �������: �n = ax � cos(n,x) + ay � cos(n,y) + az � cos(n,z), cos(n,x), cos(n,y),
cos(n,z) – ������������ �������� ������� � ����������� S.
       ���� ����������� S ��������� � Q > 0, �. �. �� ������ �������
������� ����� ������, ��� ������, � ����� ���������� �����������
���������. ���� ����������� S ��������� � Q < 0, �. �. ������� �����
������� ������, ��� ������ (������������� ���������� ��� ����). ����
����������� S ��������� � Q = 0, ��������� ��������� � ��������
������� �����.
       ������ ��������� ������ ������� ����� ��������� ����������� �
�������� �������������� ������, ����� �� ����������� � �����, ����������
������������ ��� ������������� ������� � ������ ����� � ������������
                                           �    �
                                       �� a � ds
div a, �. �. div a(p) = lim            S
                                                    .
                              �� � P       ��
     ����������� – ��������� �������������� ���������� ����. ���
���������� ���������� ��������� �����, ������������ � ����������
����� ������, �. �. ����������� ����� ����� ��������� ���������
��������� ����� �� �����. ��� ����� ���� ������������� (� �����
��������� �������� ����), ������������� (��������� ����) ��� ������
���� (���������� � ������ ���). ��������� �������� �����������
������������� ��������� ���������.
     �� �������� ����������� ������� �������� ��������� �������:
              �a x �a y �a z
div a =           �    �     .                 ����, � ������� div a = 0, ����������
               �x   �y   �z
��������������.
      �������� �����������: div (a + b) = div a + div b; div (ua) = u � div a +
+ gradu � a$ div (ca) = c � div a, ��� � – ���������.
      ����������� ������� � ����� ������� ������� ����� �����
�������� �������������� – ������. ��� ������: ����� ������� � �����
��������� ����������� S ����� ��������� �� �����������, �������� ��
                                                              �            �
������ V, ������������� ������ ������������ S, �. �. �� a � dS � ��� divad� .
                                                                                  S          V

������� �������������� – ������ ����������� ��� ��������������
��������� �� ������ � �������� �� �����������, �������������� ����
�����.
     ������ 2. ����� �������� Fn � ����� ������� ���� ����������
�      M �
F � � f 3 r ����� ����������� ����� ������� R � ������� � ������
       r

                                                        20