Математические уравнения в геофизике. Груздев В.Н. - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

29
Ɂɚɞɚɧɢɟ 3. Ɋɟɲɟɧɢɟ ɫɢɫɬɟɦ ɥɢɧɟɣɧɵɯ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ ɦɟɬɨɞɨɦ ɨɛɪɚɬɧɨɣ
ɦɚɬɪɢɰɵ.
Ⱦɚɧɚ ɫɢɫɬɟɦɚ ɥɢɧɟɣɧɵɯ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ, ɩɪɢɱɟɦ m = n:
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
11 2 2
...
...
...................................................
...
nn
nn
mm mnnm
ax ax ax b
ax ax ax b
ax ax ax b

°

°
®
°
°

¯
. Ɂɚɩɢɲɟɦ ɞɚɧɧɭɸ ɫɢɫɬɟɦɭ ɜ ɦɚɬɪɢɱɧɨɦ
ɜɢɞɟ: Ⱥ ɏ = ȼ. Ɉɩɪɟɞɟɥɹɟɬɫɹ ɨɛɪɚɬɧɚɹ ɦɚɬɪɢɰɚ Ⱥ
–1
. Ɍɨɝɞɚ ɪɟɲɟɧɢɟ
ɫɢɫɬɟɦɵ ɜ ɦɚɬɪɢɱɧɨɦ ɜɢɞɟ ɛɭɞɟɬ ɢɦɟɬɶ ɜɢɞ: ɏ = Ⱥ
–1
ȼ, ɢɥɢ ɜ ɪɚɡɜɟɪɧɭɬɨɦ
ɜɢɞɟ:
1
2
...
n
x
x
x
§·
¨¸
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
=
11 21 1
12 22 2
12
...
...
... ... ... ...
...
n
n
nn nn
AA A
AA A
AA A
§·
¨¸
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
1
2
...
n
b
b
b
§·
¨¸
¨¸
¨¸
¨¸
©¹
.
Ɇɚɬɪɢɰɚ Ⱥ
–1
ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɨɛɪɚɬɧɨɣ ɩɨ ɨɬɧɨɲɟɧɢɸ ɤ ɤɜɚɞɪɚɬɧɨɣ
ɦɚɬɪɢɰɟ Ⱥ, ɟɫɥɢ ɩɪɢ ɭɦɧɨɠɟɧɢɢ ɷɬɨɣ ɦɚɬɪɢɰɵ ɧɚ ɞɚɧɧɭɸ ɤɚɤ ɫɩɪɚɜɚ, ɬɚɤ ɢ
ɫɥɟɜɚ ɩɨɥɭɱɚɟɬɫɹ ɟɞɢɧɢɱɧɚɹ ɦɚɬɪɢɰɚ, ɬ. ɟ. Ⱥ
–1
Ⱥ = Ⱥ Ⱥ
–1
= ȿ. Ɉɛɪɚɬɧɚɹ
ɦɚɬɪɢɰɚ Ⱥ
–1
ɫɭɳɟɫɬɜɭɟɬ ɢ ɟɞɢɧɫɬɜɟɧɧɚɹ ɬɨɝɞɚ ɢ ɬɨɥɶɤɨ ɬɨɝɞɚ, ɤɨɝɞɚ
ɨɩɪɟɞɟɥɢɬɟɥɶ ɢɫɯɨɞɧɨɣ ɦɚɬɪɢɰɵ ɨɬɥɢɱɟɧ ɨɬ ɧɭɥɹ, ɬ. ɟ. _Ⱥ_z 0.
Ⱥɥɝɨɪɢɬɦ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɹ ɨɛɪɚɬɧɨɣ ɦɚɬɪɢɰɵ.
1. ɇɚɯɨɞɢɬɫɹ ɨɩɪɟɞɟɥɢɬɟɥɶ ɢɫɯɨɞɧɨɣ ɦɚɬɪɢɰɵ _Ⱥ_. ȿɫɥɢ _Ⱥ_z 0, ɬɨ
ɨɛɪɚɬɧɚɹ ɦɚɬɪɢɰɚ ɫɭɳɟɫɬɜɭɟɬ.
2. ɇɚɯɨɞɢɬɫɹ ɦɚɬɪɢɰɚ Ⱥ
Ɍ
, ɬɪɚɧɫɩɨɧɢɪɨɜɚɧɧɚɹ ɤ ɢɫɯɨɞɧɨɣ ɦɚɬɪɢɰɟ Ⱥ.
3. ɇɚɯɨɞɹɬɫɹ ɚɥɝɟɛɪɚɢɱɟɫɤɢɟ ɞɨɩɨɥɧɟɧɢɹ ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ ɬɪɚɧɫɩɨɧɢɪɨɜɚɧɧɨɣ
ɦɚɬɪɢɰɵ Ⱥ
ij
Ɍ
ɢ ɫɨɫɬɚɜɥɹɟɬɫɹ ɢɡ ɧɢɯ ɩɪɢɫɨɟɞɢɧɟɧɧɚɹ ɦɚɬɪɢɰɚ Ⱥ
ɩ
,
ɷɥɟɦɟɧɬɵ ɤɨɬɨɪɨɣ ɪɚɜɧɵ: ɚ
ij
ɩ
= Ⱥ
ij
Ɍ
.
4. ȼɵɱɢɫɥɹɟɬɫɹ ɨɛɪɚɬɧɚɹ ɦɚɬɪɢɰɚ ɩɨ ɮɨɪɦɭɥɟ: Ⱥ
–1
= 1/_Ⱥ_Ⱥ
ɩ
5. ɉɪɨɜɟɪɹɟɬɫɹ ɩɪɚɜɢɥɶɧɨɫɬɶ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɹ ɨɛɪɚɬɧɨɣ ɦɚɬɪɢɰɵ Ⱥ
–1
, ɢɫɯɨɞɹ
ɢɡ ɟɟ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ: Ⱥ
–1
Ⱥ = Ⱥ Ⱥ
–1
= ȿ.
Ɂɚɞɚɱɚ 3. Ɋɟɲɢɬɶ ɦɟɬɨɞɨɦ ɨɛɪɚɬɧɨɣ ɦɚɬɪɢɰɵ ɫɢɫɬɟɦɭ ɥɢɧɟɣɧɵɯ
ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ:
°
¯
°
®
3333232131
2323222121
1313212111
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
. Ɂɧɚɱɟɧɢɹ ɚ
11
, ɚ
12
, ɚ
13
, ɚ
21
,ɚ
22
, ɚ
23
, ɚ
31
, ɚ
32
,
ɚ
33
, b
1
, b
2,
b
3
ɜɡɹɬɶ ɢɡ ɬɚɛɥɢɰɵ 8 ɫɨɝɥɚɫɧɨ ɡɚɞɚɧɧɨɦɭ ɜɚɪɢɚɧɬɭ.
ɉɪɢɦɟɪ 2. Ɋɟɲɢɬɶ ɦɟɬɨɞɨɦ ɨɛɪɚɬɧɨɣ ɦɚɬɪɢɰɵ ɫɢɫɬɟɦɭ ɥɢɧɟɣɧɵɯ
ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ:
°
¯
°
®
82
112
3
321
321
321
xxx
xxx
xxx
.
Ɇɚɬɪɢɰɚ Ⱥ, ɫɨɫɬɚɜɥɟɧɧɚɹ ɢɡ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɨɜ ɩɪɢ ɧɟɢɡɜɟɫɬɧɵɯ ɢɦɟɟɬ:
    ������� 3. ������� ������ �������� ��������� ������� ��������
�������.
    ���� ������� �������� ���������, ������ m = n:
�a11 x1 � a12 x2 � ... � a1n xn � b1
�a x � a x � ... � a x � b
� 21 1 22 2                      2n n        2
�                                                     . ������� ������ ������� � ���������
� ...................................................
��am1 x1 � am 2 x2 � ... � amn xn � bm
����:   � � � = �. ������������ �������� ������� �–1. ����� �������
������� � ��������� ���� ����� ����� ���: � = �–1 � �, ��� � �����������
����:
� x1 �  � A11    A 21 ...     An1 �    � b1 �
� �     �                          �   � �
� � = � A12
  x 2            A22 ...      An 2 �   � b2 � .
� ... � � ...    ... ...      ... �    � ... �
� �     �                          �   � �
  x
� n�    � A1n    A2 n ...     Ann �    � bn �
      ������� �–1 ���������� �������� �� ��������� � ����������
������� �, ���� ��� ��������� ���� ������� �� ������ ��� ������, ��� �
����� ���������� ��������� �������, �. �. �–1� � = � � �–1 = �. ��������
������� �–1 ���������� � ������������ ����� � ������ �����, �����
������������ �������� ������� ������� �� ����, �. �. ��� � 0.
                �������� ���������� �������� �������.
1. ��������� ������������ �������� ������� ���. ���� ��� � 0, ��
   �������� ������� ����������.
2. ��������� ������� ��, ����������������� � �������� ������� �.
3. ��������� �������������� ���������� ��������� �����������������
   ������� �ij� � ������������ �� ��� �������������� ������� ��,
   �������� ������� �����: �ij� = �ij�.
4. ����������� �������� ������� �� �������: �–1 = 1/��� � ��
5. ����������� ������������ ���������� �������� ������� �–1, ������
   �� �� �����������: �–1 � � = � � �–1 = �.
      ������ 3. ������ ������� �������� ������� ������� ��������
                �a11 x1 � a12 x 2 � a 13 x3 �b1
���������: ��a 21 x1 � a 22 x2 � a 23 x3 � b2 . �������� �11, �12, �13, �21,�22, �23, �31, �32,
                �a x � a x � a x � b
                � 31 1  32 2  33 3  3

�33, b1, b2, b3 ����� �� ������� 8 �������� ��������� ��������.
        ������ 2. ������ ������� �������� ������� ������� ��������
                � x1 � x2 � x3 � 3
                �
���������: �2 x1 � x2 � x3 � 11 .
                �x � x � 2x � 8
                � 1 2      3

       ������� �, ������������ �� ������������� ��� ����������� �����:

                                                  29

Страницы