ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
56
=
2
cos
2
S
S
k
k
h
+
2/
0
22
sin
4
l
l
xk
k
h
S
S
+
2
cos
2
S
S
k
k
h
–
l
l
l
xk
k
h
2/
22
sin
4
S
S
=
2
sin
4
22
S
S
k
k
h
+
2
sin
4
22
S
S
k
k
h
=
2
sin
8
22
S
S
k
k
h
. B
k
= 0.
ɋɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ, u(x, t) =
2
8
S
h
¦
f
1
2
cossin
2
sin
1
k
l
tk
l
xkk
k
SDSS
.
ȼɵɩɢɲɟɦ ɧɟɫɤɨɥɶɤɨ ɱɥɟɧɨɜ ɪɹɞɚ: u(x,t) =
2
8
S
h
(sin
l
x
S
· cos
l
t
S
D
–
–
2
3
1
sin
l
x
S
3
· cos
l
t
S
D
3
+
2
5
1
sin
l
x
S
5
· cos
l
t
S
D
5
–
2
7
1
sin
l
x
S
7
· cos
l
t
S
D
7
+ …).
ɉɪɢɦɟɪ 8. ɉɭɫɬɶ ɧɚɱɚɥɶɧɵɟ ɨɬɤɥɨɧɟɧɢɹ ɫɬɪɭɧɵ, ɡɚɤɪɟɩɥɟɧɧɨɣ ɜ
ɬɨɱɤɟ ɯ = 0 ɢɯ = l, ɪɚɜɧɵ ɧɭɥɸ, ɚ ɧɚɱɚɥɶɧɚɹ ɫɤɨɪɨɫɬɶ ɜɵɪɚɠɚɟɬɫɹ
ɮɨɪɦɭɥɨɣ
°
¯
°
®
!
w
w
.2/|2/|,0
,2/|2/|),(
0
hlxɩɪɢ
hlxɩɪɢconstv
x
u
. Ɉɩɪɟɞɟɥɢɬɶ ɮɨɪɦɭ ɫɬɪɭɧɵ ɞɥɹ
ɥɸɛɨɝɨ ɦɨɦɟɧɬɚ ɜɪɟɦɟɧɢ t.
Ɂɞɟɫɶ ij(x) = 0, ɚȥ(x) = v
0
ɜ ɢɧɬɟɪɜɚɥɟ ((l – h)/2, (l + h)/2) ɢȥ(x) = 0
ɜɧɟ ɷɬɨɝɨ ɢɧɬɟɪɜɚɥɚ.
ɋɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ, A
k
= 0, B
k
=
³
2/)(
2/)(
0
sin
2
hl
hl
dx
l
xk
v
ak
S
S
=
=
2/)(
2/)(
0
cos
2
hl
hl
l
xk
k
l
k
v
S
SSD
= ]
2
)(
cos
2
)(
[cos
2
22
0
l
hlk
l
xlk
ak
lv
SS
S
=
=
l
hkk
k
lv
2
sin
2
sin
4
22
0
SS
D
S
. Ɉɬɫɸɞɚ, u(x, t) =
a
lv
2
0
4
S
¦
f
1
2
sinsin
2
sin
2
sin
1
k
l
xk
l
tk
l
hkk
k
SSDSS
.
ȼɵɩɢɲɟɦ ɧɟɫɤɨɥɶɤɨ ɱɥɟɧɨɜ ɪɹɞɚ: u(x, t) =
a
lv
2
0
4
S
(sin
l
h
2
S
sin
l
t
S
D
sin
l
x
S
–
2
3
1
sin
l
h
2
3
S
sin
l
t
S
D
3
sin
l
x
S
3
+
2
5
1
sin
l
h
2
5
S
sin
l
t
S
D
5
sin
l
x
S
5
– …).
Ɂɚɞɚɧɢɹ ɤ ɥɚɛɨɪɚɬɨɪɧɨɣ ɪɚɛɨɬɟ 9
1. ɇɚɣɬɢ ɮɭɧɤɰɢɸ z = z(x, y), ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɸɳɭɸ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɦɭ
ɭɪɚɜɧɟɧɢɸ
2
w
w
x
z
.
2. Ɋɟɲɢɬɶ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ
y
y
z
6
2
2
w
w
, ɝɞɟ z = z(x, y).
3. Ɋɟɲɢɬɶ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ
1
2
ww
w
yx
z
, ɝɞɟ z = z(x, y).
4. ɇɚɣɬɢ ɨɛɳɢɣ ɢɧɬɟɝɪɚɥ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ
z
y
z
y
x
z
x 2
w
w
w
w
.
5. ɇɚɣɬɢ ɨɛɳɢɣ ɢɧɬɟɝɪɚɥ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ
02)(
22
w
w
w
w
y
z
xy
x
z
yx .
6. Ɉɞɧɨɪɨɞɧɚɹ ɫɬɪɭɧɚ, ɡɚɤɪɟɩɥɟɧɧɚɹ ɧɚ ɤɨɧɰɚɯ ɯ = 0 ɢɯ = 2, ɢɦɟɟɬ ɜ
ɧɚɱɚɥɶɧɵɣ ɦɨɦɟɧɬ ɜɪɟɦɟɧɢ ɮɨɪɦɭ ɩɚɪɚɛɨɥɵ ij(x) = ɯ(2 – x). Ɉɩɪɟɞɟɥɢɬɶ
� 2h k� 4h k�x l / 2 2h k� 4h k�x 4h k�
= cos + 2 2 sin 0 + cos – 2 2 sin l
l/2 = sin +
k� 2 k � l k� 2 k � l k 2� 2 2
4h k� 8h k�
sin = 2 2 sin . Bk = 0.
k 2� 2 2 k � 2
8h �� 1 k� k�x k��t
�������������, u(x, t) = 2 � 2 sin sin cos .
� k �1 k 2 l l
8h �x ��t
������� ��������� ������ ����: u(x,t) = (sin · cos –
l l �2
1 3�x 3��t 1 5�x 5��t 1 7�x 7��t
– 2 sin · cos + 2 sin · cos – 2 sin · cos + …).
3 l l 5 l l 7 l l
������ 8. ����� ��������� ���������� ������, ������������ �
����� � = 0 � � = l, ����� ����, � ��������� �������� ����������
�u ��v0 (const ), ��� | x � l / 2 |� h / 2,
�������� �� . ���������� ����� ������ ���
�x ��0, ��� | x � l / 2 |� h / 2.
������ ������� ������� t.
����� �(x) = 0, � �(x) = v0 � ��������� ((l – h)/2, (l + h)/2) � �(x) = 0
��� ����� ���������.
(l � h ) / 2
2 k�x
�������������, Ak = 0, Bk = dx =
k�a (l ��h ) / 2
v0 sin
l
2v 0 l k�x (l � h ) / 2 2v 0 l k� (l � x) k� (l � h)
=� � � cos (l �h ) / 2 = � [cos � cos ] =
k�� k� l k 2� 2 a 2l 2l
4v l k� k�h 4v l �� 1 k� k�h k��t k�x
= 2 02 � sin � sin . ������, u(x, t) = 20 � 2 sin sin sin sin .
k � � 2 2l � a k �1 k 2 2l l l
4v l �h ��t �x 1
������� ��������� ������ ����: u(x, t) = 20 (sin sin sin – 2
� a 2l l l 3
3�h 3��t 3�x 1 5�h 5��t 5�x
sin sin sin + 2 sin sin sin – …).
2l l l 5 2l l l
������� � ������������ ������ 9
1. ����� ������� z = z(x, y), ��������������� �����������������
�z
��������� � 2.
�x
�z 2
2. ������ ��������� � 6 y , ��� z = z(x, y).
�y 2
�z 2
3. ������ ��������� � 1 , ��� z = z(x, y).
�x�y
�z �z
4. ����� ����� �������� ��������� x � y � 2 z .
�x �y
�z �z
5. ����� ����� �������� ��������� ( x 2 � y 2 ) � 2 xy � 0 .
�x �y
6. ���������� ������, ������������ �� ������ � = 0 � � = 2, ����� �
��������� ������ ������� ����� �������� �(x) = �(2 – x). ����������
56
