ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
55
Ɂɚɞɚɱɚ ɫɜɨɞɢɬɫɹ ɤ ɪɟɲɟɧɢɸ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ
2
2
2
2
2
x
u
a
t
u
w
w
w
w
ɩɪɢ ɝɪɚɧɢɱɧɵɯ
ɭɫɥɨɜɢɹɯ u(0, t) = u(l, t) = 0 ɢ ɧɚɱɚɥɶɧɵɯ ɭɫɥɨɜɢɹɯ u(x, 0) = ij(x) = x(l – x),
t
xu
w
w )0,(
= ȥ(x) = 0.
ȼɵɱɢɫɥɹɟɦ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɵ A
k
ɢ B
k
:
A
k
=
³
1
0
2
sin)(
2
dx
l
xk
xlx
l
S
=
l
l
xk
xlx
k
0
2
cos)(
2
S
S
+
³
1
0
cos)2(
2
dx
l
xk
xl
k
S
S
=
=
l
l
xk
xl
k
l
0
22
sin)2(
2
S
S
+
³
1
0
22
sin
4
dx
l
xk
k
l
S
S
=
l
l
xk
k
l
0
33
2
cos
4
S
S
= )cos1(
4
33
2
S
S
k
k
l
=
=
))1(1(
4
33
2
k
k
l
S
=
°
¯
°
®
.,
8
,,0
33
2
ɧɟɱɟɬɧɨɦkɩɪɢ
k
l
ɱɟɬɧɨɦkɩɪɢ
S
B
k
=
³
1
0
sin0
2
dx
l
xk
ak
S
S
= 0. ɉɨɷɬɨɦɭ ɢɫɤɨɦɨɟ ɪɟɲɟɧɢɟ ɛɭɞɟɬ ɢɦɟɬɶ ɜɢɞ:
u(x, t) =
3
2
8
S
l
¦
f
1
3
)12(
)12(
sin
)12(
cos
k
k
l
xk
l
atk
SS
.
ɉɪɢɦɟɪ 7. Ⱦɚɧɚ ɫɬɪɭɧɚ, ɡɚɤɪɟɩɥɟɧɧɚɹ ɧɚ ɤɨɧɰɚɯ ɯ = 0 (ɬɨɱɤɚ 0) ɢɯ = l
(ɬɨɱɤɚ B). ɉɭɫɬɶ ɜ ɧɚɱɚɥɶɧɵɣ ɦɨɦɟɧɬ ɜɪɟɦɟɧɢ ɮɨɪɦɚ ɫɬɪɭɧɵ ɢɦɟɟɬ ɜɢɞ
ɥɨɦɚɧɨɣ ɥɢɧɢɢ ɈȺB, ɬɨɱɤɚ Ⱥ(l/2,h). ɇɚɣɬɢ ɮɨɪɦɭ ɫɬɪɭɧɵ ɞɥɹ ɥɸɛɨɝɨ
ɦɨɦɟɧɬɚ ɜɪɟɦɟɧɢ t, ɟɫɥɢ ɧɚɱɚɥɶɧɵɟ ɫɤɨɪɨɫɬɢ ɨɬɫɭɬɫɬɜɭɸɬ. ȼɵɩɢɫɚɬɶ
ɧɟɫɤɨɥɶɤɨ ɱɥɟɧɨɜ ɪɹɞɚ Ɏɭɪɶɟ.
ɍɝɥɨɜɨɣ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬ ɩɪɹɦɨɣ ɈȺ ɪɚɜɟɧ
2
/
l
h
, ɬ. ɟ.
l
h2
,
ɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ, ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɷɬɨɣ ɩɪɹɦɨɣ ɟɫɬɶ u =
l
h2
x. ɉɪɹɦɚɹ AB ɨɬɫɟɤɚɟɬ
ɧɚ ɨɫɹɯ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬ ɨɬɪɟɡɤɢ l ɢ 2h, ɡɧɚɱɢɬ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɷɬɨɣ ɩɪɹɦɨɣ ɢɦɟɟɬ ɜɢɞ
1
2
h
u
l
x
ɢɥɢ u =
l
h2
(l – x). ɂɬɚɤ,
°
°
¯
°
°
®
dd
dd
,
2
),(
2
,
2
0,
2
)(
lx
l
ɩɪɢxl
l
h
l
ɯɩɪɢx
l
h
x
M
0)( x
\
.
ɇɚɯɨɞɢɦ A
k
ɢ B
k
. A
k
=
³
l
dx
l
xk
x
l
0
sin)(
2
S
M
=
³
2/
0
2
sin
4
l
dx
l
xk
x
l
h
S
+
+
³
l
l
dx
l
xk
xl
l
h
2/
2
sin)(
4
S
= | ɢɧɬɟɝɪɢɪɭɟɦ ɩɨ ɱɚɫɬɹɦ | =
=
2/
0
cos
4
l
l
xk
x
lk
h
S
S
+
³
2/
0
cos
4
l
dx
l
xk
lk
h
S
S
–
l
l
l
xk
xl
lk
h
2/
cos)(
4
S
S
–
³
l
l
dx
l
xk
lk
h
2/
cos
4
S
S
=
� 2u � 2u
������ �������� � ������� ��������� � a 2 2 ��� ���������
�t 2 �x
�������� u(0, t) = u(l, t) = 0 � ��������� �������� u(x, 0) = �(x) = x(l – x),
�u ( x,0)
= �(x) = 0.
�t
��������� ������������ Ak � Bk:
1 1
2 k�x 2 k�x 2 k�x
Ak= � (lx � x 2 ) sin dx = � + dx =
k� �0
l
(lx � x 2 ) cos 0 (l � 2 x) cos
l 0 l k� l l
1
2l k�x 4l k�x � 4l 2 k�x 4l 2
= (l � 2 x) sin l
0 + � sin dx = 3 3 cos l
0 = (1 � cos k� ) =
k �
2 2
l k �2 2
0
l k � l k 3� 3
2
�0, ��� k ������,
4l
= 3 3 (1 � (�1) k ) = �� 8l 2
k � � 3 3 , ��� k ��������.
�� k
1
2 k�x
Bk = dx = 0. ������� ������� ������� ����� ����� ���:
k�a �0
0 � sin
l
(2k � 1)�at (2k � 1)�x
cos sin
8l 2 ��
l l
u(x, t) =
�3
�
k �1 (2k � 1) 3
.
������ 7. ���� ������, ������������ �� ������ � = 0 (����� 0) � � = l
(����� B). ����� � ��������� ������ ������� ����� ������ ����� ���
������� ����� ��B, ����� �(l/2,h). ����� ����� ������ ��� ������
������� ������� t, ���� ��������� �������� �����������. ��������
��������� ������ ���� �����.
h 2h
������� ����������� ������ �� ����� , �. �. ,
l/2 l
2h
�������������, ��������� ���� ������ ���� u = x. ������ AB ��������
l
�� ���� ��������� ������� l � 2h, ������ ��������� ���� ������ ����� ���
� 2h l
x u 2h �� l x, ��� 0 � � � 2 ,
� � 1 ��� u = (l – x). ����, � ( x) � � � ( x) � 0 .
l 2h l � 2h (l � x), ��� l � x � l ,
�� l 2
l l/2
2 k�x 4h k�x
������� Ak � Bk. Ak = dx = 2 dx +
l �0 � x sin
� ( x) sin
l l 0
l
l
4h k�x
+ dx = | ����������� �� ������ | =
l 2 l �/ 2
(l � x) sin
l
l/2 l
� 4h k�x 4h k�x 4h k�x 4h k�x
= + � cos dx – – dx =
k�l l �/ 2
l/2 l
x cos 0 (l � x) cos l/2 cos
k�l l k�l 0
l k�l l l
55
