Математические уравнения в геофизике. Груздев В.Н. - 54 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

54
Ɂɚɩɢɲɟɦ ɫɢɫɬɟɦɭ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ
02
22
dz
xy
dy
yx
dx
. ȼɨɫɩɨɥɶɡɭɟɦɫɹ
ɫɜɨɣɫɬɜɨɦ ɩɪɨɩɨɪɰɢɢ ɢ ɩɪɟɞɫɬɚɜɢɦ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ
xy
dy
yx
dx
2
22
ɜ ɜɢɞɟ
xyyx
dydx
yxyx
dydx
22
2222
ɢɥɢ ɜ ɜɢɞɟ
22
)(
)(
)(
)(
yx
yxd
yx
yxd
. ɂɧɬɟɝɪɢɪɭɟɦ
ɞɚɧɧɨɟ ɪɚɜɟɧɫɬɜɨ, ɩɨɥɭɱɢɦ
C
yxyx
11
, C
yxyx
11
, C
yx
y
22
2
.
ɉɨɫɥɟɞɧɟɟ ɪɚɜɟɧɫɬɜɨ ɦɨɠɧɨ ɡɚɩɢɫɚɬɶ ɜ ɜɢɞɟ
1
22
C
yx
y
.
ȼɬɨɪɨɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɢɡ ɫɢɫɬɟɦɵ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ ɢɦɟɟɬ ɜɢɞ dz = 0. Ɉɬɫɸɞɚ
z = C
2
.
Ɉɛɳɢɣ ɢɧɬɟɝɪɚɥ ɢɦɟɟɬ ɜɢɞ: Ɏ(
22
yx
y
,z) = 0 ɢɥɢ z = ij(
22
yx
y
).
Ɂɚɞɚɧɢɟ 3. ɍɪɚɜɧɟɧɢɟ ɤɨɥɟɛɚɧɢɹ ɤɨɧɟɱɧɨɣ ɫɬɪɭɧɵ. Ɂɚɞɚɧɢɟ ɜɵɞɚɟɬɫɹ
ɩɪɟɩɨɞɚɜɚɬɟɥɟɦ ɫɨɝɥɚɫɧɨ ɜɚɪɢɚɧɬɭ.
Ⱦɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɫɜɨɛɨɞɧɵɯ ɦɚɥɵɯ ɩɨɩɟɪɟɱɧɵɯ
ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ ɨɞɧɨɪɨɞɧɨɣ ɫɬɪɭɧɵ ɫ ɡɚɤɪɟɩɥɟɧɧɵɦɢ ɤɨɧɰɚɦɢ ɢɦɟɟɬ ɜɢɞ
2
2
2
2
2
x
u
a
t
u
w
w
w
w
ɫ ɝɪɚɧɢɱɧɵɦɢ ɭɫɥɨɜɢɹɦɢ u(0, t) = u(l, t) = 0 (–f < t < + f ) ɢ
ɧɚɱɚɥɶɧɵɦɢ ɭɫɥɨɜɢɹɦɢ u(x, 0) = ij(x), u
/
t
(x, 0) = ȥ(x), (0 lx dd ).
Ɋɟɲɟɧɢɟ ɷɬɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ u(x, t), ɞɚɸɳɟɟ ɨɬɤɥɨɧɟɧɢɟ ɬɨɱɟɤ ɫɬɪɭɧɵ ɫ
ɚɛɫɰɢɫɫɨɣ ɯ ɜ ɦɨɦɟɧɬ ɜɪɟɦɟɧɢ t, ɜɵɪɚɠɚɟɬɫɹ ɪɹɞɨɦ Ɏɭɪɶɟ u(x, t) =
=
¦
f
1
sin)sincos(
k
kk
l
xk
l
atk
B
l
atk
A
SSS
, ɝɞɟ A
k
=
³
1
0
sin)(
2
dx
l
xk
x
l
S
M
,
B
k
=
³
1
0
sin)(
2
dx
l
xk
x
ak
S
\
S
, k = 1, 2, 3, …
ɍɪɚɜɧɟɧɢɟ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ ɛɟɫɤɨɧɟɱɧɨɣ ɫɬɪɭɧɵ ɢɦɟɟɬ ɜɢɞ
2
2
2
2
2
x
u
a
t
u
w
w
w
w
ɫ
ɧɚɱɚɥɶɧɵɦɢ ɭɫɥɨɜɢɹɦɢ u(x, 0) = ij(x), u
/
t
(x, 0) = ȥ(x), (–
f
fdd
x
).
Ƚɪɚɧɢɱɧɵɟ ɭɫɥɨɜɢɹ ɨɬɫɭɬɫɬɜɭɸɬ, ɬɚɤ ɤɚɤ ɫɬɪɭɧɚ ɛɟɫɤɨɧɟɱɧɚɹ. Ⱦɥɹ ɪɟɲɟɧɢɹ
ɡɚɞɚɱ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɣ ɮɢɡɢɤɢ ɜ ɫɥɭɱɚɟ ɛɟɫɤɨɧɟɱɧɵɯ ɫɪɟɞ ɩɪɢɦɟɧɹɸɬ
ɢɧɬɟɝɪɚɥɶɧɨɟ ɩɪɟɨɛɪɚɡɨɜɚɧɢɟ Ɏɭɪɶɟ. ɉɪɢ ɷɬɨɦ ɡɚɦɟɧɹɸɬ ɞɚɧɧɨɟ
ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟɦ ɞɥɹ Ɏɭɪɶɟɨɛɪɚɡɨɜ ɟɝɨ ɱɚɫɬɟɣ.
ɇɚɯɨɞɹɬ ɢɡ ɷɬɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ (ɨɛɵɱɧɨ ɛɨɥɟɟ ɩɪɨɫɬɨɝɨ) Ɏɭɪɶɟɨɛɪɚɡ
ɢɫɤɨɦɨɝɨ ɪɟɲɟɧɢɹ, ɚ ɡɚɬɟɦ ɫ ɩɨɦɨɳɶɸ ɨɛɪɚɬɧɨɝɨ ɩɪɟɨɛɪɚɡɨɜɚɧɢɹ Ɏɭɪɶɟ
ɩɨɥɭɱɚɸɬ ɫɚɦɨ ɪɟɲɟɧɢɟ.
ɉɪɢɦɟɪ 6. Ɉɞɧɨɪɨɞɧɚɹ ɫɬɪɭɧɚ, ɡɚɤɪɟɩɥɟɧɧɚɹ ɧɚ ɤɨɧɰɚɯ ɯ = 0 ɢɯ = l,
ɢɦɟɟɬ ɜ ɧɚɱɚɥɶɧɵɣ ɦɨɦɟɧɬ ɜɪɟɦɟɧɢ ɮɨɪɦɭ ɩɚɪɚɛɨɥɵ ij(x) = ɯ(l – x).
Ɉɩɪɟɞɟɥɢɬɶ ɫɦɟɳɟɧɢɟ ɬɨɱɟɤ ɫɬɪɭɧɵ ɨɬ ɩɪɹɦɨɥɢɧɟɣɧɨɝɨ ɩɨɥɨɠɟɧɢɹ
ɪɚɜɧɨɜɟɫɢɹ, ɩɪɟɞɩɨɥɚɝɚɹ, ɱɬɨ ɧɚɱɚɥɶɧɵɟ ɫɤɨɪɨɫɬɢ ɨɬɫɭɬɫɬɜɭɸɬ.
                                                     dx        dy    dz
       �������             �������       ���������          �     �     . �������������
                                                 x 2 � y 2 2 xy 0
                                                                      dx       dy
��������� ��������� � ���������� ���������                                   �      � ����
                                                                   x 2 � y 2 2 xy
     dx � dy          dx � dy                        d ( x � y) d ( x � y)
                 �                 ��� � ����                   �           . �����������
 x 2 � 2 xy � y 2 x 2 � y 2 � 2 xy                   ( x � y) 2 ( x � y) 2
                                       1       1               1       1           2y
������ ���������, ������� �                ��       �C ,          �         �C, 2       �C.
                                      x� y    x� y           x� y x� y           x � y2
                                                            y
��������� ��������� ����� �������� � ���� 2 2 � C1 .
                                                         x �y
      ������ ��������� �� ������� ��������� ����� ��� dz = 0. ������
z = C2.
                                                         y                        y
       ����� �������� ����� ���: �(                           ,z) = 0 ��� z = �( 2 2 ).
                                                      x2 � y2                   x �y
     ������� 3. ��������� ��������� �������� ������. ������� ��������
�������������� �������� ��������.
     ���������������� ��������� ��������� ����� ����������
��������� ���������� ������ � ������������� ������� ����� ���
� 2u      � 2u
   2
     � a 2 2 � ���������� ��������� u(0, t) = u(l, t) = 0 (– � < t < + � ) �
�t        �x
���������� ��������� u(x, 0) = �(x), u/t(x, 0) = �(x), (0 � x � l ).
     ������� ����� ��������� u(x, t), ������ ���������� ����� ������ �
��������� � � ������ ������� t, ���������� ����� ����� u(x, t) =
                                                                                 1
          ��
                           k�at          k�at       k�x                        2               k�x
=        �(A
          k �1
                 k   cos
                             l
                                � Bk sin
                                           l
                                              ) sin
                                                     l
                                                        ,     ���        Ak=
                                                                               l �0
                                                                                    � ( x) sin
                                                                                                l
                                                                                                   dx ,

          1
      2               k�x
Bk =                      dx , k = 1, 2, 3, …
     k�a �0
           � ( x) sin
                       l
                                                         � 2u     � 2u
       ��������� ��������� ����������� ������ ����� ���     2
                                                              � a2 2 �
                                                         �t       �x
���������� ��������� u(x, 0) = �(x), u/t(x, 0) = �(x), (– � � x � �� ).
��������� ������� �����������, ��� ��� ������ �����������. ��� �������
����� �������������� ������ � ������ ����������� ���� ���������
������������ �������������� �����. ��� ���� �������� ������
���������������� ��������� ���������� ��� ����� – ������� ��� ������.
������� �� ����� ��������� (������ ����� ��������) ����� – �����
�������� �������, � ����� � ������� ��������� �������������� �����
�������� ���� �������.
     ������ 6. ���������� ������, ������������ �� ������ � = 0 � � = l,
����� � ��������� ������ ������� ����� �������� �(x) = �(l – x).
���������� �������� ����� ������ �� �������������� ���������
����������, �����������, ��� ��������� �������� �����������.

                                                     54