Математические уравнения в геофизике. Груздев В.Н. - 53 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

53
ɂɧɬɟɝɪɢɪɭɟɦ ɞɚɧɧɨɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɩɨ ɯ, ɩɨɥɭɱɢɦ:
³³
w w xz z = x +
+ ij(y), ɝɞɟ ij(y) – ɩɪɨɢɡɜɨɥɶɧɚɹ ɮɭɧɤɰɢɹ. ɗɬɨ ɟɫɬɶ ɨɛɳɟɟ ɪɟɲɟɧɢɟ ɞɚɧɧɨɝɨ
ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ.
ɉɪɢɦɟɪ 2. Ɋɟɲɢɬɶ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ
y
y
z
6
2
2
w
w
, ɝɞɟ z = z(x, y).
Ⱦɜɚɠɞɵ ɢɧɬɟɝɪɢɪɭɟɦ ɷɬɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɩɨ ɭ. ɉɨɥɭɱɚɟɦ
)(3
2
xy
y
z
M
w
w
,
z = y
3
+ y ij(x) + ȥ(x), ɝɞɟ ij(x) ɢȥ(x) – ɩɪɨɢɡɜɨɥɶɧɵɟ ɮɭɧɤɰɢɢ.
ɉɪɢɦɟɪ 3. Ɋɟɲɢɬɶ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ
0
2
ww
w
yx
z
, ɝɞɟ z = z(x, y).
ɂɧɬɟɝɪɢɪɭɟɦ ɞɚɧɧɨɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɩɨ ɯ, ɩɨɥɭɱɢɦ
)( yf
y
z
w
w
.
ɂɧɬɟɝɪɢɪɭɟɦ ɩɨɥɭɱɟɧɧɵɣ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬ ɩɨ ɭ, ɩɨɥɭɱɢɦ z =
³
dyyf )( + ij(x).
Ɂɚɞɚɧɢɟ 2. Ⱦɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɵɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɩɟɪɜɨɝɨ ɩɨɪɹɞɤɚ ɥɢɧɟɣɧɵɟ
ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɱɚɫɬɧɵɯ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɵɯ. Ɂɚɞɚɧɢɟ ɜɵɞɚɟɬɫɹ ɩɪɟɩɨɞɚɜɚɬɟɥɟɦ
ɫɨɝɥɚɫɧɨ ɜɚɪɢɚɧɬɭ.
Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ
Z
y
z
Y
x
z
X
w
w
w
w
, ɝɞɟ X, Y ɢ
Z – ɮɭɧɤɰɢɢ x, y, z. ɉɪɟɞɜɚɪɢɬɟɥɶɧɨ ɪɟɲɢɦ ɫɢɫɬɟɦɭ ɨɛɵɤɧɨɜɟɧɧɵɯ
ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɵɯ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ
Z
dz
Y
dy
X
dx
. ɉɭɫɬɶ ɪɟɲɟɧɢɟ ɷɬɨɣ ɫɢɫɬɟɦɵ
ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɬɫɹ ɪɚɜɟɧɫɬɜɚɦɢ Ȧ
1
(x, y, z) = C
1
, Ȧ
2
(x, y, z) = C
2
. Ɍɨɝɞɚ ɨɛɳɢɣ
ɢɧɬɟɝɪɚɥ ɢɫɯɨɞɧɨɝɨ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɛɭɞɟɬ ɢɦɟɬɶ ɜɢɞ:
Ɏ(Ȧ
1
(x, y, z), Ȧ
2
(x, y, z)) = 0, ɝɞɟ Ɏ(Ȧ
1
, Ȧ
2
) – ɩɪɨɢɡɜɨɥɶɧɚɹ ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɨ
ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɪɭɟɦɚɹ ɮɭɧɤɰɢɹ.
ɉɪɢɦɟɪ 4. ɇɚɣɬɢ ɨɛɳɢɣ ɢɧɬɟɝɪɚɥ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ
z
y
z
y
x
z
x
w
w
w
w
.
Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢ ɫɢɫɬɟɦɭ ɨɛɵɤɧɨɜɟɧɧɵɯ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɵɯ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ
z
dz
y
dy
x
dx
. Ɋɟɲɢɦ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ
y
dy
x
dx
, ɩɨɥɭɱɢɦ ln|y| = ln|xC
1
| ɢɥɢ ɭ = ɯɋ
1
,
1
C
x
y
. Ɋɟɲɢɦ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ
z
dz
x
dx
, ɩɨɥɭɱɢɦ ln|z| = ln|xC
2
| ɢɥɢ z = ɯɋ
2
,
2
C
x
z
.
Ɉɛɳɢɣ ɢɧɬɟɝɪɚɥ ɡɚɞɚɧɧɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɛɭɞɟɬ ɢɦɟɬɶ ɜɢɞ: Ɏ(
x
y
,
x
z
) = 0 ɢɥɢ
x
z
= ij(
x
y
), ɬ. ɟ. z = x ij(
x
y
), ɝɞɟ ij – ɩɪɨɢɡɜɨɥɶɧɚɹ ɮɭɧɤɰɢɹ.
ɉɪɢɦɟɪ 5. ɇɚɣɬɢ ɨɛɳɢɣ ɢɧɬɟɝɪɚɥ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ
02)(
22
w
w
w
w
y
z
xy
x
z
yx
.
      ����������� ������ ��������� �� �, �������: � �z � � �x � z = x +
+ �(y), ��� �(y) – ������������ �������. ��� ���� ����� ������� �������
����������������� ���������.
                                      �z 2
      ������ 2. ������ ���������           � 6 y , ��� z = z(x, y).
                                      �y 2
                                                                      �z
      ������ ����������� ��� ��������� �� �. ��������                    � 3 y 2 � � ( x) ,
                                                                      �y
z = y3 + y �(x) + �(x), ��� �(x) � �(x) – ������������ �������.
                                 �z 2
      ������ 3. ������ ���������      � 0 , ��� z = z(x, y).
                                 �x�y
                                                     �z
      ����������� ������ ��������� �� �, �������         � f ( y) .
                                                     �y
����������� ���������� ��������� �� �, ������� z =            � f ( y)dy + �(x).
      ������� 2. ���������������� ��������� ������� ������� ��������
������������ ������� �����������. ������� �������� ��������������
�������� ��������.
                                                          �z    �z
      ���������� ���������������� ��������� X                �Y    � Z , ��� X, Y �
                                                          �x    �y
Z – ������� x, y, z. �������������� ����� ������� ������������
                                  dx dy dz
���������������� ���������          �   �   . ����� ������� ���� �������
                                  X   Y   Z
������������ ����������� �1(x, y, z) = C1, �2(x, y, z) = C2. ����� �����
�������� ��������� ����������������� ��������� ����� ����� ���:
�(�1(x, y, z), �2(x, y, z)) = 0, ��� �(�1, �2) – ������������ ����������
���������������� �������.
                                                           �z    �z
      ������ 4. ����� ����� �������� ��������� x              �y    �z.
                                                           �x    �y
      ��������� ������� ������������ ���������������� ���������
dx dy dz                           dx dy
    �     �   . ����� ���������       �   , ������� ln|y| = ln|xC1| ��� � = ��1,
 x    y     z                       x   y
y                           dx dz                                         z
   � C1 . ����� ���������      � , ������� ln|z| = ln|xC2| ��� z = ��2, � C 2 .
x                            x   z                                        x
                                                                   y z
����� �������� ��������� ��������� ����� ����� ���: �( , ) = 0 ���
                                                                   x x
z         y              y
   = �( ), �. �. z = x �( ), ��� � – ������������ �������.
x         x              x
                                                                �z     �z
        ������ 5. ����� ����� �������� ��������� ( x 2 � y 2 ) � 2 xy � 0 .
                                                                �x     �y




                                       53

Страницы