Математические уравнения в геофизике. Груздев В.Н. - 51 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

51
ɇɚ ɨɫɧɨɜɚɧɢɢ ɩɨɫɥɟɞɧɟɝɨ ɪɚɜɟɧɫɬɜɚ ɦɨɠɧɨ ɧɚɩɢɫɚɬɶ:
F
*
(Į) =
S
2
1
³
f
f
)(tf e
iĮt
dt, (1) ɬɨɝɞɚ: f(x) =
³
f
f
S
2
1
F
*
(Į)e
–iĮx
dĮ.
Ɏɭɧɤɰɢɹ F
*
(Į) ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɩɪɟɨɛɪɚɡɨɜɚɧɢɟɦ Ɏɭɪɶɟ ɞɥɹ ɮɭɧɤɰɢɢ f(t)
ɢɥɢ ɫɩɟɤɬɪɚɥɶɧɨɣ ɩɥɨɬɧɨɫɬɶɸ ɮɭɧɤɰɢɢ f(t). Ɇɨɞɭɥɶ |F
*
( Į)| ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ
ɚɦɩɥɢɬɭɞɧɵɦ ɫɩɟɤɬɪɨɦ ɮɭɧɤɰɢɢ f(t). Ɏɭɧɤɰɢɹ f(t) ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɨɛɪɚɬɧɵɦ
ɩɪɟɨɛɪɚɡɨɜɚɧɢɟɦ Ɏɭɪɶɟ ɞɥɹ ɮɭɧɤɰɢɢ F
*
(Į). ɗɬɢ ɩɪɟɨɛɪɚɡɨɜɚɧɢɹ
ɨɬɥɢɱɚɸɬɫɹ ɡɧɚɤɨɦ ɩɪɢ i.
ɉɪɢɦɟɪ 6. ɉɪɟɞɫɬɚɜɢɬɶ ɮɭɧɤɰɢɸ f(x) ɤɨɦɩɥɟɤɫɧɨɣ ɮɨɪɦɨɣ
ɢɧɬɟɝɪɚɥɚ Ɏɭɪɶɟ. ɇɚɣɬɢ ɫɩɟɤɬɪɚɥɶɧɭɸ ɮɭɧɤɰɢɸ ɢ ɚɦɩɥɢɬɭɞɧɵɣ ɫɩɟɤɬɪ
ɮɭɧɤɰɢɢ f(x).
f(x) =
°
¯
°
®
!
.0,0
,0,
2.0
xɩɪɢ
xɩɪɢe
x
ɉɨ ɮɨɪɦɭɥɟ (1) ɧɚɯɨɞɢɦ ɫɩɟɤɬɪɚɥɶɧɭɸ
ɩɥɨɬɧɨɫɬɶ ɮɭɧɤɰɢɢ, ɭɱɢɬɵɜɚɹ, ɱɬɨ ɩɪɢ t < 0 f(t) = 0: F
*
(Į) =
S
2
1
³
f
0
2.0 t
e
e
iĮt
dt
=
S
2
1
³
f
0
2.0 tit
e
D
dt =
(0.2 )
0
1
2(0,2 )
it
e
i
D
SD
 f
=
1
2(0,2 )i
SD
.
Ⱥɦɩɥɢɬɭɞɧɵɣ ɫɩɟɤɬɪ |F
*
( Į)| ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɦ ɜ ɜɢɞɟ:
|F
*
( Į)| = |
1
2(0,2 )i
SD
| =
2
11
20,2
2(0,04
i
SD
SD
.
Ʉɨɦɩɥɟɤɫɧɚɹ ɮɨɪɦɚ ɢɧɬɟɝɪɚɥɚ Ɏɭɪɶɟ ɢɦɟɟɬ ɜɢɞ:
f(x) =
³
f
f
DS
i2.0
1
2
1
ɟ
–iĮx
dĮ.
Ɂɚɞɚɧɢɹ ɤ ɥɚɛɨɪɚɬɨɪɧɨɣ ɪɚɛɨɬɟ 8
ȼɚɪɢɚɧɬ 1.
Ɂɚɞɚɧɢɟ 1. Ɋɚɡɥɨɠɢɬɶ ɫɥɟɞɭɸɳɭɸ ɮɭɧɤɰɢɸ ɜ ɪɹɞ Ɏɭɪɶɟ: f(x) = x + 1, ɧɚ
(–ʌ, ʌ).
Ɂɚɞɚɧɢɟ 2. ȼɵɱɢɫɥɢɬɶ ɢɧɬɟɝɪɚɥ Ɏɭɪɶɟ:
xdxxe
x
2cos3sin
0
4
³
f
.
Ɂɚɞɚɧɢɟ 3. ɉɪɟɞɫɬɚɜɢɬɶ ɫɥɟɞɭɸɳɭɸ ɮɭɧɤɰɢɸ ɤɨɦɩɥɟɤɫɧɨɣ ɮɨɪɦɨɣ
ɢɧɬɟɝɪɚɥɚ Ɏɭɪɶɟ, ɧɚɣɬɢ ɫɩɟɤɬɪɚɥɶɧɭɸ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɭ ɢ ɚɦɩɥɢɬɭɞɧɵɣ
ɫɩɟɤɬɪ: f(x) =
°
¯
°
®
).,0(,0
),,0(,1
ax
ax
��         ���������                             ����������                       ���������                �����            ��������:
                         �                                                                  �
                1                                                                     1
F*(�) =                  � f (t ) e
                                       i�t
                                         dt, (1) �����: f(x) =                              �    F*(�)e–i�xd�.
                2�      ��                                                            2�    ��

     ������� F*(�) ���������� ��������������� ����� ��� ������� f(t)
��� ������������ ���������� ������� f(t). ������ |F*( �)| ����������
����������� �������� ������� f(t). ������� f(t) ���������� ��������
��������������� ����� ��� ������� F*(�). ��� ��������������
���������� ������ ��� i.
     ������ 6. ����������� ������� f(x) ����������� ������
��������� �����. ����� ������������ ������� � ����������� ������
������� f(x).
                                �e �0.2 x , ��� x � 0,
          f(x) = ��                                             �� ������� (1) ������� ������������
                                ��0, ��� x � 0.
                                                                                                                        �
                                                                                                                   1
��������� �������, ��������, ��� ��� t < 0 f(t) = 0: F*(�) =                                                            �e
                                                                                                                             � 0.2 t
                                                                                                                                       ei�t dt
                                                                                                                   2�   0
          �
     1                                           �1                                             1
=          �e
                � 0.2 t � i�t
                                dt =                         e � (0.2�i� )t   �
                                                                              0   =                        .
     2�    0                                 2� (0, 2 � i� )                               2� (0, 2 � i� )
          ����������� ������ |F*( �)| ���������� � ����:
                           1                                1               1
|F*( �)| = |                          |=                             �                 .
                      2� (0, 2 � i� )                   2� 0, 2 � i�   2� (0, 04 � � 2
          ����������� ����� ��������� ����� ����� ���:
                �
           1               1           –i�x
f(x) =          � 0.2 � i� �                  d�.
          2�    ��




                                         ������� � ������������ ������ 8

������� 1.
������� 1. ��������� ��������� ������� � ��� �����: f(x) = x + 1, ��
 (–�, �).
                                                                              �
������� 2. ��������� �������� �����: � e �4 x sin 3x cos 2 xdx .
                                                                                  0

������� 3. ����������� ��������� ������� ����������� ������
��������� �����, ����� ������������ �������������� � �����������
                �1, x � (0, a ),
������: f(x) = ��
                                 ��0, x � (0, a ).




                                                                         51