Математические уравнения в геофизике. Груздев В.Н. - 49 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

49
Ɏɨɪɦɭɥɚ (6) ɞɚɟɬ ɪɚɡɥɨɠɟɧɢɟ ɮɭɧɤɰɢɢ f(x) ɧɚ ɝɚɪɦɨɧɢɤɢ ɫ
ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɨ ɦɟɧɹɸɳɟɣɫɹ ɨɬ 0 ɞɨ ɱɚɫɬɨɬɨɣ Į. Ɂɚɤɨɧ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ
ɚɦɩɥɢɬɭɞ ɢ ɧɚɱɚɥɶɧɵɯ ɮɚɡ ɜ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɢ ɨɬ ɱɚɫɬɨɬɵ Į ɜɵɪɚɠɚɟɬɫɹ ɱɟɪɟɡ
ɮɭɧɤɰɢɢ Ⱥ(Į) ɢȼ(Į).
ȼ ɮɨɪɦɭɥɟ (4) ɩɨɥɨɠɢɦ F(Į) =
S
2
³
f
0
)(tf
t
D
cos dt. (7) Ɍɨɝɞɚ
ɮɨɪɦɭɥɚ (4) ɩɪɢɦɟɬ ɜɢɞ: f(ɯ)=
S
2
³
f
0
F(Į)cos Įx dĮ. (8)
Ɏɭɧɤɰɢɹ F(Į) ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɤɨɫɢɧɭɫ-ɩɪɟɨɛɪɚɡɨɜɚɧɢɟɦ Ɏɭɪɶɟ ɞɥɹ ɮɭɧɤɰɢɢ
f(x). ȿɫɥɢ ɜ ɪɚɜɟɧɫɬɜɟ (7) ɫɱɢɬɚɬɶ F(Į) ɡɚɞɚɧɧɨɣ, ɚ f(t) ɢɫɤɨɦɨɣ ɮɭɧɤɰɢɟɣ,
ɬɨ ɨɧɨ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɢɧɬɟɝɪɚɥɶɧɵɦ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟɦ ɞɥɹ ɮɭɧɤɰɢɢ f(t). Ɏɨɪɦɭɥɚ (8)
ɞɚɟɬ ɪɟɲɟɧɢɟ ɷɬɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ.
ɇɚ ɨɫɧɨɜɚɧɢɢ ɮɨɪɦɭɥɵ (5) ɦɨɠɟɦ ɧɚɩɢɫɚɬɶ ɫɥɟɞɭɸɳɢɟ ɪɚɜɟɧɫɬɜɚ:
Ɏ(Į) =
S
2
³
f
0
)(tf
t
D
sin
dt. (9) f(ɯ)=
S
2
³
f
0
Ɏ(Į)sin Įx dĮ. (10)
Ɏɭɧɤɰɢɹ Ɏ(Į) ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɫɢɧɭɫ-ɩɪɟɨɛɪɚɡɨɜɚɧɢɟ Ɏɭɪɶɟ.
ɉɪɢɦɟɪ 3. ɉɭɫɬɶ f(x) = e
ȕx
, ȕ > 0, x 0.
ɉɨ ɮɨɪɦɭɥɟ (7) ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɦ ɤɨɫɢɧɭɫ-ɩɪɟɨɛɪɚɡɨɜɚɧɢɟ Ɏɭɪɶɟ:
F(Į) =
S
2
³
f
0
e
ȕt
t
D
cos dt =
22
2
DE
E
S
. ɉɨ ɮɨɪɦɭɥɟ (9) ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɦ ɫɢɧɭɫ-
ɩɪɟɨɛɪɚɡɨɜɚɧɢɟ Ɏɭɪɶɟ: Ɏ(Į) =
S
2
³
f
0
e
ȕt
t
D
sin dt =
22
2
DE
D
S
ɉɨ ɮɨɪɦɭɥɚɦ (8) ɢ (10) ɧɚɯɨɞɢɦ ɜɡɚɢɦɧɵɟ ɫɨɨɬɧɨɲɟɧɢɹ
³
f
0
22
cos2
x
ed
x
E
D
DE
D
S
E
, x 0,
³
f
0
22
sin2
x
ed
x
E
D
DE
DD
S
, x > 0.
ɉɪɢɦɟɪ 4. ɉɪɟɞɫɬɚɜɢɬɶ ɢɧɬɟɝɪɚɥɨɦ Ɏɭɪɶɟ ɮɭɧɤɰɢɸ:
°
°
¯
°
°
®
!
.10,0
,10,
2
1
,10,1
)(
xɢx
xɢx
x
xf
Ⱦɚɧɧɚɹ ɮɭɧɤɰɢɹ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɤɭɫɨɱɧɨ-ɝɥɚɞɤɨɣ, ɬɚɤ ɤɚɤ ɨɧɚ ɫɨɫɬɨɢɬ ɢɡ
ɬɪɟɯ ɝɥɚɞɤɢɯ ɱɚɫɬɟɣ: ɭ = 0 ɧɚ (–
f , 1), ɭ = 1 ɧɚ (0, 1) ɢɭ = 0 ɧɚ (1, f ) ɢ
ɢɦɟɟɬ ɞɜɟ ɬɨɱɤɢ ɪɚɡɪɵɜɚ ɩɟɪɜɨɝɨ ɪɨɞɚ ɩɪɢ ɯ = 0 ɢɯ = 1. ɗɬɚ ɮɭɧɤɰɢɹ
ɚɛɫɨɥɸɬɧɨ ɢɧɬɟɝɪɢɪɭɟɦɚ ɧɚ ɜɫɟɣ ɱɢɫɥɨɜɨɣ ɨɫɢ, ɬɚɤ ɤɚɤ ɜɧɟ ɨɬɪɟɡɤɚ [0, 1]
ɨɧɚ ɪɚɜɧɚ ɧɭɥɸ, ɢ ɢɧɬɟɝɪɚɥ ɨɬ ɧɟɟ ɩɨ ɜɫɟɣ ɱɢɫɥɨɜɨɣ ɨɫɢ ɫɜɟɞɟɬɫɹ ɤ
ɢɧɬɟɝɪɚɥɭ ɩɨ ɨɬɪɟɡɤɭ [0, 1].
ɋɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ, ɬɚɤɚɹ ɮɭɧɤɰɢɹ ɦɨɠɟɬ ɛɵɬɶ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɚ ɢɧɬɟɝɪɚɥɨɦ
Ɏɭɪɶɟ. ɉɨ ɮɨɪɦɭɥɟ f(ɯ)=
³
f
0
1
S
(
³
f
f
)(tf
)(cos xt
D
dt)dĮ ɢɦɟɟɦ:
     ������� (6) ���� ���������� ������� f(x) �� ��������� �
���������� ���������� �� 0 �� � �������� �. ����� �������������
�������� � ��������� ��� � ����������� �� ������� � ���������� �����
������� �(�) � �(�).
                                                                               �
                                                                           2
         � ������� (4) ������� F(�) =                                          � f (t ) cos �t dt.   (7)    �����
                                                                           �   0
                                                     �
                                                 2
������� (4) ������ ���: f(�)=                            �    F(�)cos �x d�. (8)
                                                 �       0

������� F(�) ���������� �������-��������������� ����� ��� �������
f(x). ���� � ��������� (7) ������� F(�) ��������, � f(t) ������� ��������,
�� ��� �������� ������������ ���������� ��� ������� f(t). ������� (8)
���� ������� ����� ���������.
       �� ��������� ������� (5) ����� �������� ��������� ���������:
               �                                              �
           2                                         2
�(�) =         � f (t ) sin �t dt. (9)   f(�)=                �   �(�)sin �x d�. (10)
           �   0
                                                     �        0

     ������� �(�) ���������� �����-�������������� �����.
     ������ 3. ����� f(x) = e–�x, � > 0, x � 0.
�� ������� (7) ���������� �������-�������������� �����:
               �
           2                             2     �
F(�) =         �    e–�t cos �t dt =                . �� ������� (9) ���������� �����-
           �   0
                                         � � 2 �� 2
                                                     �
                                                 2                                 2     �
�������������� �����: �(�) =                         �        e–�t sin �t dt =
                                             �       0
                                                                                   � � 2 �� 2
         �� �������� (8) � (10) ������� �������� �����������
     �                                               �
2�    cos �x                                     2 � sin �x
               d� � e � �x , x � 0,                             d� � e � �x , x > 0.
� �0 � 2 � � 2                                   � �0 � 2 � � 2
         ������ 4. ����������� ���������� ����� �������:
         �1, 0 � x � 1,
         �
         �1
f ( x) � � , x � 0 � x � 1,
         �2
         ��0, x � 0 � x � 1.
      ������ ������� �������� �������-�������, ��� ��� ��� ������� ��
���� ������� ������: � = 0 �� (– � , 1), � = 1 �� (0, 1) � � = 0 �� (1, � ) �
����� ��� ����� ������� ������� ���� ��� � = 0 � � = 1. ��� �������
��������� ������������ �� ���� �������� ���, ��� ��� ��� ������� [0, 1]
��� ����� ����, � �������� �� ��� �� ���� �������� ��� �������� �
��������� �� ������� [0, 1].
      �������������, ����� ������� ����� ���� ������������ ����������
                                                                  �   �
                                                              1
�����.             ��      �������               f(�)=           ( f (t ) cos � (t � x) dt)d�              �����:
                                                              �� �0   ��




                                                             49