Математические уравнения в геофизике. Груздев В.Н. - 47 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

47
ɉɨ ɮɨɪɦɭɥɟ ɚ
n
=
³
S
S
S
nxdxxf cos)(
1
, ɧɚɯɨɞɢɦ ɚ
n
=
³
S
S
S
nxdxx cos
1
=
=
]sin
1sin
[
1
³
S
S
S
S
S
nxdx
nn
nx
x
= 0.
ɉɨ ɮɨɪɦɭɥɟ b
n
=
³
S
S
S
nxdxxf sin)(
1
, ɧɚɯɨɞɢɦ b
n
=
³
S
S
S
nxdxx sin
1
=
=
]cos
1cos
[
1
³
S
S
S
S
S
nxdx
nn
nx
x
= (–1)
n+1
n
2
.
Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ, ɩɨɥɭɱɚɟɦ ɪɚɡɥɨɠɟɧɢɟ ɮɭɧɤɰɢɢ ɜ ɪɹɞ Ɏɭɪɶɟ:
f(x) = 2[
1
sin x
2
2sin x
+
3
3sin x
– … (–1)
n+1
n
nxsin
+…].
ɉɭɫɬɶ f(x) ɟɫɬɶ ɩɟɪɢɨɞɢɱɟɫɤɚɹ ɮɭɧɤɰɢɹ ɫ ɩɟɪɢɨɞɨɦ 2l. Ɋɹɞ Ɏɭɪɶɟ ɞɥɹ
ɩɟɪɢɨɞɢɱɟɫɤɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ ɫ ɩɟɪɢɨɞɨɦ 2l ɢɦɟɟɬ ɜɢɞ:
f(ɯ) =
¦
f
1
0
)sincos(
2
n
nn
x
l
n
bx
l
n
a
a
SS
, ɝɞɟ: ɚ
0
=
³
l
l
dxxf
l
)(
1
, ɚ
n
=
³
l
l
xdx
l
nxf
l
S
cos)(
1
,
b
n
=
³
l
l
xdx
l
nxf
l
S
sin)(
1
.
ɉɪɢɦɟɪ 2. Ɋɚɡɥɨɠɢɬɶ ɜ ɪɹɞ Ɏɭɪɶɟ ɩɟɪɢɨɞɢɱɟɫɤɭɸ ɮɭɧɤɰɢɸ f(x) = |x|
c ɩɟɪɢɨɞɨɦ 2l ɧɚ ɨɬɪɟɡɤɟ [–l; l].
Ɍɚɤ ɤɚɤ ɪɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɟɦɚɹ ɮɭɧɤɰɢɹ ɱɟɬɧɚɹ, ɬɨ ɚ
0
=
lxdx
l
l
³
0
2
,
ɚ
n
=
³
l
dx
l
xn
x
l
0
cos
2
S
=
³
S
S
0
2
cos
2
nxdxx
l
=
22
0, ,
4
,,
ɩɪɢ k ɱɟɬɧɨɦ
l
ɩɪɢ k ɧɟɱɟɬɧɨɦ
k
S
°
®
°
¯
b
n
= 0.
ɋɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ, ɪɚɡɥɨɠɟɧɢɟ ɜ ɪɹɞ Ɏɭɪɶɟ ɢɦɟɟɬ ɜɢɞ:
|x| =
22 2
3(21)
cos cos cos
4
... ...
213 (21)
p
xx x
ll
ll l
p
SS S
S
ªº
«»

«»
«»
¬¼
.
Ɂɚɞɚɧɢɟ 2. ȼɵɱɢɫɥɟɧɢɟ ɢɧɬɟɝɪɚɥɨɜ Ɏɭɪɶɟ. Ɂɚɞɚɧɢɟ ɜɵɞɚɟɬɫɹ
ɩɪɟɩɨɞɚɜɚɬɟɥɟɦ ɫɨɝɥɚɫɧɨ ɜɚɪɢɚɧɬɭ.
ɉɭɫɬɶ ɮɭɧɤɰɢɹ f(x) ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɚ ɧɚ ɛɟɫɤɨɧɟɱɧɨɦ ɢɧɬɟɪɜɚɥɟ (-; +) ɢ
ɚɛɫɨɥɸɬɧɨ ɢɧɬɟɝɪɢɪɭɟɦɚ ɧɚ ɧɟɦ, ɬ. ɟ. ɫɭɳɟɫɬɜɭɟɬ ɢɧɬɟɝɪɚɥ:
³
f
f
Qdxxf )( . (1)
ȿɫɥɢ ɮɭɧɤɰɢɹ f(x) ɤɭɫɨɱɧɨ-ɦɨɧɨɬɨɧɧɚɹ ɧɚ ɤɚɠɞɨɦ ɤɨɧɟɱɧɨɦ
ɢɧɬɟɪɜɚɥɟ ɨɝɪɚɧɢɱɟɧɚ ɧɚ ɛɟɫɤɨɧɟɱɧɨɦ ɢɧɬɟɪɜɚɥɟ ɢ ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɟɬ ɭɫɥɨɜɢɸ
(1), ɬɨ ɩɪɢ l
fo : f(ɯ)=
³
f
0
1
S
(
³
f
f
)(tf
)(cos xt
D
dt)dĮ. (2)
                                                            �                                           �
                                                       1                                            1
          �� �������                          �n =          �� f ( x) cos nxdx ,   ������� �n =         � x cos nxdx     =
                                                       �    �
                                                                                                    �   ��
                                        �
    1            sin nx             1
=                                         sin nxdx] = 0.
                                    n ���
                          �
        [x                ��   �
    �              n
                                                            �                                           �
                                                       1                                            1
          �� ������� bn =                                   �� f ( x) sin nxdx ,   ������� bn =         � x sin nxdx     =
                                                       �    �
                                                                                                    �   ��
                                           �                       2
    1             cos nx                1                       n+1 .
=                                                        = (–1)
                                        n ���
                               �
        [� x                   ��   �         cos nxdx ]           n
    �               n
          ����� �������, �������� ���������� ������� � ��� �����:
                   sin x sin 2 x sin 3x             sin nx
f(x) = 2[               –       +       – … (–1)n+1        +…].
                     1      2       3                 n
     ����� f(x) ���� ������������� ������� � �������� 2l. ��� ����� ���
�������������      �������      �    ��������     2l     �����     ���:
                                                             l                 l
             a0 �           n�            n�               1                 1              �
f(�) =         � � (a n cos    x � bn sin    x) , ���: �0 = � f ( x)dx , �n = � f ( x) cos n xdx ,
             2 n �1          l             l               l �l              l �l           l
             l
        1                 �
bn =          f ( x) sin n xdx .
        l ��l             l
      ������ 2. ��������� � ��� ����� ������������� ������� f(x) = |x|
c �������� 2l �� ������� [–l; l].
                                                                                                               l
                                                                                                             2
          ��� ��� ��������������� ������� ������, �� �0 =                                                         xdx � l ,
                                                                                                             l �0
           l                    �               �0, ��� k ������,
        2          n�x      2l                  �
�n =                      =                   =                                               bn = 0.
        l �0                � 2 �0
             x cos     dx          x cos nxdx   � 4l
                    l                           �� 2 2 , ��� k ��������,
                                                � � k
          �������������, ���������� � ��� ����� ����� ���:
                    �    �      3�               (2 p � 1)�        �
                      cos x cos    x         cos            x
               l 4l �    l       l                    l            �
          |x| = � 2 �      �         � ... �                  � ...� .
               2 � � 1         32               (2 p � 1) 2        �
                    �                                              �
     ������� 2. ���������� ���������� �����. ������� ��������
�������������� �������� ��������.
     ����� ������� f(x) ���������� �� ����������� ��������� (-�; +�) �
                                                                                              ��
��������� ������������ �� ���, �. �. ���������� ��������:                                     �    f ( x) dx � Q . (1)
                                                                                              ��

     ���� ������� f(x) �������-���������� �� ������ ��������
��������� ���������� �� ����������� ��������� � ������������� �������
                                                   �   �
                                               1
(1), �� ��� l � � : f(�)=                         ( f (t ) cos � (t � x) dt)d�. (2)
                                               �� �0   ��




                                                                      47